ｘ＝１＋√２iのとき、次の問いにこたえよ

ｘ＝１＋√２iのとき、次の問いにこたえよ

ｘ＾２－２ｘ＋３＝０であることを示し、
それを使いｘ＾３＋３ｘ＾２－５ｘ－１４の値をもとめよ

文字だけでなく、言葉で説明もおねがいします

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2012/06/01 21:16

ｘ＝１＋√２iのとき

x-1=√２i

両辺2乗して

(x-1)^2=-2

展開してすべての項を左辺にもってくると

ｘ＾２－２ｘ＋３＝０


ついでにその逆もやりましょう。

ｘ＾２－２ｘ＋３＝０

から

(x-1)^2+2=0

はわかりますか。そうすると

(x-1)^2＝-2=(√２i)^2

よって

x-1=±√２i

つまり

x=1-√２iも

ｘ＾２－２ｘ＋３＝０

です。



ｘ＾３＋３ｘ＾２－５ｘ－１４

=x(x^2-2x+3)+2x^2-3x+3x^2-5x-14

=5x^2-8x-14 (x^2-2x+3=0だから）

=5(x^2-2x+3)+10x-15-8x-14

=2x-29

=2(１＋√２i)-29=-27+2√２i

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/06/01 21:15

x=1+√2iより、x-1=√2i

両辺を2乗する。
x^2-2x+1=2(i^2)=-2
∴x^2-2x+3=0

x^3+3x^2-5x-14をx^2-2x+3で割る。
x^3+3x^2-5x-14=x(x^2-2x+3)+5x^2-8x-14
5x^2-8x-14をx^2-2x+3で割る。
5x^2-8x-14=5(x^2-2x+3)+2x-29
∴x^3+3x^2-5x-14=(x+5)(x^2-2x+3)+2x-29
ここで、x^2-2x+3=0であるから、x^3+3x^2-5x-14の値は2x-29に等しい。
∴x^3+3x^2-5x-14=2(1+√2i)-29=-27+2√2i