No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>放物線y=x^+px+qをC1とし、放物線y=-x^2をC2とする。
>C1は直線y=2x上に頂点をもち、C2と相違なる2点で交わるとする。
>C1とC2で囲まれる部分の面積が最大となる実数p、qの値と、
>その時の面積を求めよ。
>C1とC2の2つの交点のx座標をα、β(α<β)とおくと、α、βは
>x^2+px+q=-x^2つまり2x^2+px+p^2/4-p=0の実数解
C1:y=x^2+px+q
=(x^2+px+p^2/4)-p^2/4+q
=(x+p/2)^2-p^2/4+q
頂点はy=2x上にあるから、-p^2/4+q=2×(-p/2)より、
q=(p^2/4)-p
-x^2=x^2+px+qより、2x^2+px+q=0
この方程式の2解をα、β(α<β)とすると、解と係数の関係より、
α+β=-p/2,
αβ=q/2=(1/2){(p^2/4)-p}=(p^2/8)-(p/2)
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ
=(-p/2)^2-2×{(p^2/8)-(p/2)}
=p
(β-α)^2=α^2+β^2-2αβ
=p-2×{(p^2/8)-(p/2)}
=2p-(p^2/4)
α^2+αβ+β^2
=p+(p^2/8)-(p/2)
=(p^2/8)+(p/2)
面積S=∫[α~β]{-x^2-(x^2+px+q)}dx
=∫[α~β](-2x^2-px-q)dx
=[(-2/3)x^3-(p/2)x^2-qx][α~β]
=(-2/3)(β^3-α^3)-(p/2)(β^2-α^2)-q(β-α)
=(β-α){(-2/3)(β^2+βα+α^2)-(p/2)(β+α)-q}
ここで、
(-2/3)(β^2+βα+α^2)-(p/2)(β+α)-q
=(-2/3){(p^2/8)+(p/2)}-(p/2)(-p/2)-{(p^2/4)-p}
=-p^2/12+(2/3)p
=-1/12(p^2-8p+16)+16/12
=-1/12(p-4)^2+4/3
p=4のとき、最大値4/3 このとき、q=(4^2/4)-4=0
このとき、(β-α)^2=2×4-(4^2/4)=4より、β-α=2(α<β)
よって、面積Sの最大値=2×(4/3)=8/3
になりましたが、どうでしょうか?
No.3
- 回答日時:
ANo.2です。
面積の最大値を微分で求めてみます。S(p)=(β-α)・{-p^2/12+(2/3)p}
={2p-(p^2/4)}^(1/2)・{-p^2/12+(2/3)p}とおく。
>x^2+px+q=-x^2つまり2x^2+px+p^2/4-p=0
は、異なる2点で交わるから、
判別式D=p^2-4×2×{p^2/4-p}>0
-p^2+8P>0より、p(p-8)<0
よって、0<p<8
S'(p)=(1/2){2p-(p^2/4)}^(-1/2)・{2-(p/2)}・(-p^2/12+2p/3)
+{2p-(p^2/4)}^(1/2)・(-p/6+2/3)
=(p/48)・{(-p+4)・(-p+8)+2(-p+8)・(-p+4)}/分母
分母={2p-(p^2/4)}^(1/2)=β-α>0
分子=3・(p/48)・(p-4)(p-8)
=(p/16)・(p-4)・(p-8)
S'(p)=0とすると、0<p<8で、p=4
増減表を作ると、0<p<8で、p=4のとき最大値をとる。
S(4)=(4^2/8+4/2)^(1/2)・(-4^2/12+2×4/3)
=2×(4/3)
=8/3
計算を確認してみて下さい。
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