出産前後の痔にはご注意!

http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~masiyama/ube-k/ …

ここのページにありますように
点電荷が作る電位は

V = Q / εr

で表されます。

一方で、点電荷を平面状に並べることで作られる平面電荷による電位は

http://www2.ipcku.kansai-u.ac.jp/~saitoh/parts/l …

ここの5ページにありますように

-σr / 2ε

で表されます。

つまり、点電荷の場合、電荷の上で電位が無限大で、
電荷から離れるに従って電位はゼロになるということになります。

一方で、平面電荷の場合には、
電荷の上で電位がゼロで、電荷から離れるに従って電位はマイナス無限大に発散するということになります。

なぜ、平面電荷の場合で、電荷の上で電位がゼロになるのかということと、
距離無限大で電位が無限大に発散するのかということが理解できません。

点電荷上で電位が無限大になるのであれば平面電荷であっても同様に無限大になり、
遠い距離では同様に電位はゼロにならないのはなぜでしょうか?

電場を積分することで電位が得られ、平面電荷の場合には電場が距離によらず
一定であるために、このようなことが起きることは数式的には理解できるのですが
直感的に理解することができません。

どなたかわかりやすい説明をよろしくお願いいたします。

A 回答 (10件)

Quarks さん:


> 電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。
> 無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、
> その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、
> ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が0とすると、
> 何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
> 繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、
> 無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準にしても、
> はたまた別の適当な位置を基準にとっても構わないわけです。

電位の基準点はどこにとっても構わないのは Quarks さんのおっしゃるとおりです.
(可能ならば)基準点を無限遠にとることについては
無限遠はどこから見ても無限遠なので,
たとえば点電荷が2個あったときに共通の基準点に取れることが極めて大事です.
点電荷から 1 [m] の点を基準点にするというような約束をしたら,
2個の点電荷があったときに違う基準点で電位を測ることになりますから,
基準点の調整が必要になります.

なお,電場の線積分を無限遠まで延ばして積分が収束しても無限遠を基準点に取れるとは
限りません.
例えば,x=+a (a>0) に一様な面密度 +σ(σ>0)の平面電荷があり,
x=-a に一様な面密度 -σの平面電荷がある,という場合,
x → +∞ の無限遠点と x → -∞ の無限遠点とでは電位が 2aσ/ε_0 だけ違います.
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物理では、通常「無限遠では物理量が0である」という暗黙の前提(了解)があります。


点電荷の場合には、これが成立するので、電位も無限遠を0の基準にできますが、平面電荷では電荷分布そのものがこの前提に反していて、無限遠で電位を0とできません。そのため、無限遠を基準にするのをあきらめて、平面上を基準に取り直す処置をしているかと思います。ただし、これは通常使われる前提と異なるので、きちんとその旨明示する必要があります。
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無限遠点というのは、定義が曖昧です。

特に質問文の場合。

No.7さんの言うことは尤もなんですが、ちょっと足りない気がします。

通常電荷は点で表され(電磁気学の定義)、無限遠で電界が0になるというところから、無限遠のある点に+δの変位を考えたとき影響が無いことから、基準にとっている。(1[C]の仮想電荷を動かしたところでエネルギーの変化が無いから)
無限平板に一様に電荷が分布している場合、無限遠まで電界が存在して、無限遠点を定義できないから無限平板上の点を基準にとっているのでは無いでしょうか?

点電荷の場合は、無限遠の任意の点に基準を点として置けますが、無限平板の場合は無限遠を点で定義できない。
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ANo.6です。


 
siegmundさん、ANo.7での補足説明ありがとうございました。
 
>電位の基準点はどこにとっても構わない…
>(可能ならば)基準点を無限遠にとることについては
>無限遠はどこから見ても無限遠なので,
>たとえば点電荷が2個あったときに共通の基準点に取れることが極めて大事です.
 
なるほど、そのような"積極的な"意義があったのですか。
 
 
>なお,電場の線積分を無限遠まで延ばして積分が収束しても無限遠を基準点に取れるとは
>限りません.
 
どんな電荷配置があっても、"任意の位置"に基準面を決めることができるとは限らない、ということですね。
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>なぜ、平面電荷の場合で、電荷の上で電位がゼロになるのかということと、



電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が0とすると、何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準にしても、はたまた別の適当な位置を基準にとっても構わないわけです。
 
>電荷の上で電位がゼロになる
 
確たる根拠の下に、0になる、というのではなく、「そのようになるように、基準点を取った結果」というだけに過ぎません。
 
繰り返しますが
 
>点電荷上で電位が無限大になるのであれば平面電荷であっても同様に無限大になり、
>遠い距離では同様に電位はゼロに
 
なるように設定しても構いません。ただ、数式で表現したとき、

-σr / 2ε は -σr / 2ε+∞ とでも書き表さなくてはならなくなりますよね。

このように、"無限大"が式に明示的に出てきてしまうのは好ましくないので、それを避けるために、基準点の取り方を工夫したに過ぎません。
 
なお、無限大が現れるという問題は、基準点の取り方に起因する問題ではありません。
 
 
>距離無限大で電位が無限大に発散するのかということが理解できません。
 
強いてイメージするなら…
 
電位の、位置座標に対する変化率が、電場ですよね。つまり、電位という"高さ"の"勾配"が電場です。
無限の広さを持った帯電体が作る電場は、一様電場です。つまり、"勾配"が一定です。
一定勾配の"坂道"をイメージすれば良いだけです。
勾配が一定なら、坂道の高さはどこまでも増加し続けるか、減少し続けるかしかないです。
高さ0の所から、-の一定の勾配で下がり続けるなら、無限遠方では、高さも無限の"深さ"になるのが自然です。
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> 例えば、宇宙空間に1C/m^2の表面電荷密度をもった巨大な物体が浮かんでいるとして


> 周りに何もない場合には、この物体の電位がゼロからマイナス無限大までの間にあり
> 具体的な電位を求めることができないということですか?

いくら巨大な物体でも大きさは有限です.
簡単に,その物体が半径 a の円板だとして,
円板の中心軸上で円板からの距離が r のところを考えてみます.
(A) r>>a から見れば円板は点電荷のように見え,電場は 1/r^2 に比例します.
(B) r<<a からみれば円板は無限に広く見え,電場は r^0 に見えます.
具体的には電場は
(1/r) - 1/√(r^2+a^2)
に比例し,これから(A)(B)を導くのは容易です.
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巨大なっていう定義が曖昧なんですが、もし有限の大きさなら十分離れると点電荷の様に見なせるので、どこかで無限平板と点電荷との転換点を持ちます。

(電気力線が疎になっていく)

電位はエネルギー(仕事)の定義式にしたがって計算されます。エネルギーは概念ですので、位置エネルギーも地表から取りますよね?運動エネルギーには地球の公転や自転の速度って含めないですよね?それは基準をとっているからです。

孤立した平板は基準が無限遠にあるか平板にあるかしか無いんです。無限遠点を基準に取ったら発散するから平板を基準にとっています。それだけのことです。
無限平板の近くに基準点となる導体を置いても、基準は無限平板の方です。この場合は導体に基準をおいてもいいですが。
孤立した無限平板だけでは、電界が減衰しないまま無限遠点まで到達してしまうというところに非現実性があります。
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真空の電位ってのがよくわかりませんが…



電荷の点で電場が発散するということは、電磁気学の欠陥なんですよ。(それを補う様に相対性理論や素粒子論などが考えられた)
平板でも点電荷でも、結局無限遠点と電荷が分布している部分との電位の差が無限大なんです。
点電荷の場合は、分母に距離の項があるから、無限遠点を0Vという基準にとって計算できます。
しかし、平板の場合は一様電場となってしまうため、無限遠点を基準に選んでしまうと、平板近傍の電位を求められなくなってしまうので、平板自体を基準に取る必要があります。
並行平板の様に、電気力線を回収する基準点があれば計算は容易です。あまり孤立平板を考える意味は、現実問題ではあまり意味のあるものとは思えませんが。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。


例えば、宇宙空間に1C/m^2の表面電荷密度をもった巨大な物体が浮かんでいるとして
周りに何もない場合には、この物体の電位がゼロからマイナス無限大までの間にあり
具体的な電位を求めることができないということですか?

そして、この物体の近くに別の電荷密度が既知な物体を置いたとたんに
この物体の電位が確定するということですか?

お礼日時:2012/08/17 00:47

電位は電場の線積分ですから.電場で考えた方がよろしいでしょう.


空間が3次元ですが,
(A) 点電荷は零次元
(B) 無限に広い平面電荷は2次元,
(C) ついでに無限に長い直線電荷は1次元です.
したがって,電場の広がりかたは
(A)では3次元的,(B)では2次元的,(C)では平面電荷では1次元的です.
これが電場の r 依存性,それぞれ 1/r^2,1/r,r^0 をもたらしています.
ガウスの法則を考えてみて下さい.
電気力線が貫く面は,(A)では球面(面積∝r^2),(B)では円筒側面(面積∝r)
(C)では円筒底面(面積∝r^0)ですね.
空間の次元性が本質なのです.


議論の本質には関係ありませんが,
点電荷が作る電位は
V = Q / (4πεr)
です.
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電場という言葉遣いから、物理学科生ですかね。



単に平面上を0Vという基準をとったものと思われます。無限遠を0Vとしたなら、平面上で発散すると思いますよ。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3871490.html
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

真空の電位というものは定義できないということなのでしょうか?

点電荷から見るとゼロで、平面上の電荷もゼロととると無限大になるということは

真空の電位は不定形だと考えるべきなのでしょうか?

もし真空の電位をゼロにしなければならないというのであれば
必ず平面上の電位の方が発散すると思うのですが。

お礼日時:2012/08/17 00:14

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Aベストアンサー

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これは,無限遠点はどこから見ても無限遠点なので,
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電位というのは標高みたいなものですから,
2つ以上の電荷があるときには基準点を統一しないと直接比較ができないことになります.

でも今の場合は基準点を無限遠点に取ると電位が発散してしまいますので,
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というような但し書きがあるのが普通です.
但し書きがなければ,自分で
「電位の基準点をは無限遠点に取るのが通常だが,
今はそうできないので距離 R の点を基準にした」
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宜しくお願いします.

Aベストアンサー

hatenahatena_ さんは,位置(0,0,z')の微小電荷 ρ_l dz' が位置(r,0,0)に作る微小電位を

> ρ_l * d_z' / 4πε_0(r^2+z'^2)^(1/2)

としてらっしゃいますが,これを-LからLまで積分した電位はやはり無限遠を基準にしたものになってしまいます.

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ガウスの法則より

E(r)・2π r Δz = ρ_l Δz/ε0

∴E(r) = ρ_l/(2π ε0 r) (定義域 r > 0).

無限直線電荷分布から垂直距離aの位置を電位の基準とすると,電位φ(r)は次のように表される:

φ(r)
= -∫[a,r] E(r) dr
= -ρ_l/(2π ε0) ln(r/a) (r > 0). …(1)

これが無限直線電荷による電位です.

で,ρ_l > 0 とすると,

φ(∞) = lim[r→∞] φ(r) = -∞

なので,無限遠を基準とする電位φ'(r)を考えれば,

φ'(r) = φ(r) - φ(∞) = φ(r) + ∞ = ∞.

このことからも,電荷分布が-∞~∞の場合には無限遠を基準にできないということが判ります.そしてこの結果は(1)式においてa→∞とした結果に一致します:

lim[a→∞] φ(r)
= -ρ_l/(2π ε0) lim[a→∞] ln(r/a)
= ∞.

hatenahatena_ さんは,位置(0,0,z')の微小電荷 ρ_l dz' が位置(r,0,0)に作る微小電位を

> ρ_l * d_z' / 4πε_0(r^2+z'^2)^(1/2)

としてらっしゃいますが,これを-LからLまで積分した電位はやはり無限遠を基準にしたものになってしまいます.

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Q導体表面の電界

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

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(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度をσとし、σのつくる電界をガウスの法則で求めるが、解答をみると
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E=σ/ε0

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E=(σ+σp)/2ε0

自分なりに推測したところ、

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E=σ/2ε0

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私の質問は、
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よろしくお願いします。

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E=σ/ε0

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Aベストアンサー

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/ε
  ___________
|_-__-__-__-__|  電荷の面密度は-σとする。

     E=0

(1)の電場の強さはガウスの法則で求まります。
それはあなたが推測された通りです。

(2)では、+の平板が作る電場と、-の平板が作る電場とを
重ね合わせることによって、そこに生じている電場を求めます。
2つの平板の間では、2つの電場は向きが同じなので、
強めあう重なりになります。
2つの平板の外側では、2つの電場は向きが逆なので、
弱めあう重なりになります。

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+...続きを読む

Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

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考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
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ですから
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電磁気学の質問です。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
>導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1/2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。(導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分)
この物理的意味を考えてみると、電荷Qの導体自身が静電エネルギーUを持っている物だと考えていたのに、その周りの空間(場)にエネルギーが蓄えられている、という見方も出来るのです。
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磁場や電場による力についても色々式をいじくっていくとマックスウェルの応力と呼ばれる空間(場)に力が働くという表示も得られたりします。

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>静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
>導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1/2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。(導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分)
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まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qテスト勉強でガウスの法則についての問題で分からなくて困ってます…

テスト勉強でガウスの法則についての問題で分からなくて困ってます…
どなたか解答お願いします;;


(1)無限に広い平面に、一様な面密度σで電荷が分布している。面から距離r離れた点における電場をガウスの法則を使って求めよ

(2)半径Rの輪に、一様な面密度λで電荷が分布している。中心軸上で円盤から距離r離れた点Pにおける電場をガウスの法則を使って求めよ


です><
どなたかお願いします…

Aベストアンサー

ガウスの法則∫EdS=Q/εをそのままあてはめればよいかと思います。
ここでE[V/m],微小面積dS[m^2],電荷量Q[C],誘電率ε
(1)無限平面なので電気力線はからまっすぐ外に向かって発生している(と考える)
   ある部分の面積S[m^2]で切り取っても単位面積あたりの電気力線=E[V/m]は一定である。

   ここである微小面積S[m^2]での電気力線数は∫EdS[本]なので
   今電界E[V/m]はS[m^2]によらず一定であることを利用して
   ∫EdS=E*S=σ[C/m^2]*S[m^2]/εより E=σ/ε[V/m]

(2)半径a[m]の円盤上に面密度ω[C/m2]の電界が一様に分布している。
   円盤の中心を通り、円盤に垂直な直線上の電界の求め方・・
   
   http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1113416286
   を参照ください。

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1113416286

ガウスの法則∫EdS=Q/εをそのままあてはめればよいかと思います。
ここでE[V/m],微小面積dS[m^2],電荷量Q[C],誘電率ε
(1)無限平面なので電気力線はからまっすぐ外に向かって発生している(と考える)
   ある部分の面積S[m^2]で切り取っても単位面積あたりの電気力線=E[V/m]は一定である。

   ここである微小面積S[m^2]での電気力線数は∫EdS[本]なので
   今電界E[V/m]はS[m^2]によらず一定であることを利用して
   ∫EdS=E*S=σ[C/m^2]*S[m^2]/εより E=σ/ε[V/m]

(2)半径a[m]の円盤上...続きを読む

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html


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