助けてください…

2010年センター試験追試、ベクトルの問題です

答は載っているのですが途中計算がわかりません。

どなたか教えてください…！


三角形OABの3辺に接する円(内接円)をCとし、その中心をIとおく。この円と辺OAとの接線をP、辺OBとの接線をQとし、ベクトルOP=ベクトルp、ベクトルOQ=ベクトルqとおく。｜ベクトルp｜=1であるとし、ベクトルp・ベクトルq=cとおく。なお、一般に円の外部の点Xからその円に2本の接線を引き、その接点をそれぞれY、Zとするとき、XY=XZが成り立つ。

(1)ベクトルOIは、ベクトルp、qを用いてベクトルOI=k(ベクトルp＋ベクトルq)の形に表される。｜ベクトルq｜=ア である。ベクトルOP・ベクトルPI=イ であることから、実数kをcを用いて表すと、k=ウ／c＋エ となる。
【ア…1 イ…0 ウ…1 エ…1】

2番もあるのですが、1番を理解してから質問させていただきます(>_<);

よろしくお願いします…！

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/25 19:09

>三角形OABの3辺に接する円(内接円)をCとし、その中心をIとおく。

この円と辺OAとの接線をP、辺OBとの接線をQとし、ベクトルOP=ベクトルp、ベクトルOQ=ベクトルqとおく。｜ベクトルp｜=1であるとし、ベクトルp・ベクトルq=cとおく。

「幾何」語で説明できることも、「ベクトル」語でしゃべるには慣れを要します。

ベクトルOI = i 、ベクトル u, v の内積を (u・v) と書く。
まず問題の前提から。
　｜ベクトルp｜=1 ： (p・p) = 1
　内積： (p・q) = c
　接線： 0 = (i-p・p) = (i・p) - (p・p) = (i・p) - 1　　　　…(イ)
　　　　 0 = (i-q・q) = (i・q) - (q・q)　　　　　　　　…(*)
　内接円半径の二乗： 半径ベクトルは、i-p, i-q など。半径の二乗 R^2 は？
　　R^2 = (i-p・i-p) = (i・i) -2*(i・p) + (p・p) = (i・i) - 1
　　R^2 = (i-q・i-q) = (i・i) -2*(i・q) + (q・q) = (i・i) - (q・q)

>なお、一般に円の外部の点Xからその円に2本の接線を引き、その接点をそれぞれY、Zとするとき、XY=XZが成り立つ。

手初めは、これの証明。
(p・p) = (q・q) を示す。
前記「内接円半径の二乗」から、
　R^2 = (i・i) - 1 = (i・i) - (q・q)
つまり、
　(q・q) = 1 = (p・p)　　　…(ア)

>(1)ベクトルOIは、ベクトルp、qを用いてベクトルOI=k(ベクトルp＋ベクトルq)の形に表される。｜ベクトルq｜=ア である。ベクトルOP・ベクトルPI=イ であることから、実数kをcを用いて表すと、k=ウ／c＋エ となる。

ベクトル p, q が平行でなければ、スカラー係数 {a, b} を使い i = a*p + b*q と一意的に表せるはず。
この i と p, q との内積を出すと、
　(i・p) = a*(p・p) + b*(p・q) = a + b*c
　(i・q) = a*(p・q) + b*(q・q) = a*c + b
「問題の前提」へ戻ってみれば、(i・p) = (i・q) = (q・q) = 1 だとわかる。
つまり、
　a + b*c = a*c + b
　(a-b)(1-c) = 0
(ベクトル p, q が平行でなければ) 1-c≠0 であるから、a-b = 0 、つまり a = b である。
よって、i = a(p + q) と表せる。

>ベクトルOP・ベクトルPI=イ であることから、実数kをcを用いて表すと、k=ウ／c＋エ となる。

得られた結果 i = a(p + q) から、
　(i-p・p) = ((a-1)*p+aq・p) = (a-1) + ac = 0
が得られる。結局、
　a(c+1) = 1
　a = 1/(c+1)　　　　…(ウ & エ)

…と、ここまで。

　　　

No.1 回答者： suko22 回答日時： 2012/09/23 01:47

まずは三角形ＯＡＢを適当に書いて、それに内接する円を書いてください。

(1)ＯＰ＝ＯＱより|p↑|=|q↑|=1・・・ア

ＯＰ↑・ＰＩ↑＝0（∵内心の性質＠接線と円の中心からおろした垂線、ＯＰ⊥ＰＩ）・・・イ

ＯＰ↑・ＰＩ↑＝ＯＰ↑・（ＯＩ↑-ＯＰ↑）＝ＯＰ↑・ＯＩ↑-｜ＯＰ↑｜＾2
　　　　　　　＝ｐ↑・（ｋｐ↑+ｋｑ↑）-｜ｐ↑｜＾2
　　　　　　　＝ｋ｜ｐ↑｜＾2+ｋｐ↑・ｑ↑-1
　　　　　　　＝ｋ+ｋｃ-1＝0　
よって、ｋ＝1/（ｃ+1）・・・ウ、エ