数学１の問題です。

Question

いつもお世話になっています。

数学１の問題で、わからないところがあるので教えていただいてよろしいでしょうか？
アホでもわかるようにお願いしたいのですが・・・。

X＝２分の３－√１７のとき、X＾３ー２X^2ー３Xー３の値を求めよ。

という問題です。

X=２分の３－√１７の両辺に２をかけて、両辺を二乗すると、４X^2ー１２X＋９＝１７
になり、４X^2ー１２Xー８＝０より、X＾２ー３Xー２＝０になる。

ここまでは分かりました。

これ以降がわかりません。

（X＾３ー２X^2ー３Xー３）÷（X＾２ー３Xー２）＝（X＋１）・・・２Xー１

したがってX＾３ー２X^2ー３Xー３＝（X＋１）（X＾２ー３Xー２）＋２Xー１

X＾２ー３Xー２＝０より　　２Xー１にX＝２分の３－√１７を代入して

２×２分の３－√１７ー１＝２ー√１７

答え　２ー√１７

なにをやってるのかさっぱりわかりません。

なぜ割ったのか、（X+１）・・・２Xー１はどうやって出したのか、これ以降もわかりません。

アホで申し訳ないですが、解けるようになりたいので、わかりやすく教えていただけませんでしょうか？

おねがいします。

asuncion · Accepted Answer

x = (3 － √17) / 2
のように書いてくださると、分母・分子を誤解しなくてすみます。

さて、このxの値をx^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3の式に直接代入してもいいんですが、
3乗の計算とかがあって煩雑になりそうです。
そこで、x = (3 － √17) / 2 の値から、
2x = 3 － √17
2x － 3 = －√17
4x^2 － 12x + 9 = 17
4x^2 － 12x － 8 = 0
x^2 － 3x － 2 = 0
という式を導きます。
こうすることで、x = (3 － √17) / 2 は、x^2 － 3x － 2 = 0
を満たしていることがわかります。

x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 を x^2 － 3x － 2
で割っているのは、
x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 = (x^2 － 3x － 2)・Q(x) + R(x)
の形（商：Q(x)、あまり：R(x)）に変形できたとすると、
先ほど計算したとおり、x^2 － 3x － 2 = 0
ですから、(x^2 － 3x － 2)・Q(x) の部分が 0 となり、結果として、
x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 の値は、割り算のあまりであるR(x)に等しくなる、
ということです。
3次式であるx^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 を、2次式であるx^2 － 3x － 2
で割ったあまりは1次式となります。
3次式の値を計算するより、1次式の値を計算する方がはるかに楽ですよね。

MarcoRossiItaly · Answer

寄せられた全ての回答をご参考になさってください。どれもこれも、大事な基本です。私からは、補足の情報のみ。既に良い回答が出ていますので、ベストアンサーは辞退します。

この式変形については、「剰余の定理」というキーワードで検索してみてください。数Iの教科書にも必ず載っているはずですので、まずはそちらから読まれるとよいでしょう。

bgm38489 · Answer

例えば、１７÷５＝３余りを考えましょう。これは、１７＝５×３＋２になるのはわかりますね？
式の割り算の場合、普通の割り算の筆算みたいにして、計算します。
                 x       +1
x^2-3x-2  ) x^3-2x^2-3x-3
                 x^3-3x^2-2x
                         x^2-  x-3
                         x^2- 3x-2
                                2x-1
といった具合です。3乗を千の桁、2乗を百の桁とミリようなものですね。
X＾３ー２X^2ー３Xー３＝（X＋１）（X＾２ー３Xー２）＋２Xー１となったのですかが、これは、ｘ＝…のときは（どういう式か読み取りづらいですが）、ｘ＾２－３ｘ－２＝０なわけですから、式の掛け算の部分は０となり、２ｘ－１の部分だけが残る、というわけです。だから、そこだけにｘを代入して求めれば、よいとなります。

簡単な例を挙げると、ｘ＝３の時、ｘ＾２－６ｘ＋１０の値を求めよ、と言われたら、
ｘ－３＝０なわけですから、与式＝（ｘ－３）＾２＋１として、答えは１と求まるわけです。そのものにｘを代入しても１になりますね。

asuncion · Answer

(x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3) ÷ (x^2 － 3x － 2)
の計算の話をします。
まず、割られる方の最高次 x^3 と割る方の最高次 x^2 とを比べます。
そうすると、商として x^3 ÷ x^2 = x が立ちます（※1）。
この x を、割る方の全体である x^2 － 3x － 2 とかけます。
x(x^2 － 3x － 2)=x^3 － 3x^2 － 2x …… (1)
となります。
割る方全体から(1)式の右辺を引きます。
(x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3) － (x^3 － 3x^2 － 2x)
=x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 － x^3 + 3x^2 + 2x
=x^2 － x － 3 …… (2)
この式の最高次 x^2 と割る方の最高次 x^2 とを比べます。
そうすると、商として x^2 ÷ x^2 = 1 が立ちます（※2）。
この 1 を、割る方の全体である x^2 － 3x － 2 とかけます。
1(x^2 － 3x － 2)=x^2 － 3x － 2 …… (3)
となります。
(2)式から(3)式を引きます。
(x^2 － x － 3) － (x^2 － 3x － 2)
=x^2 － x － 3 － x^2 + 3x + 2
=2x － 1
あまりが1次式になりましたので、2次式では割ることができません。
よって、商全体は※1と※2の和である x + 1で、あまりは2x － 1
となります。

ereserve67 · Answer

>なぜ割ったのか

多項式A(x)を多項式B(x)(≠0)で割った時，その商Q(x)とあまりR(x)（R(x)=0またはB(x)の次数より小）について次の等式が成り立ちます．

A(x)=B(x)Q(x)+R(x)

この等式を利用するためです．

>x+1・・・2x-1はどうやって出したのか

多項式の割り算の具体的なやり方は整数の割り算で位を次数に対応させてやれば同様にできます．ここでは地道な式変形でやってみましょう．

x^3-2x^2-3x-3=(x^2-3x-2)x+x^2-x-3=(x^2-3x-2)x+(x^2-3x-2)+2x-1=(x^2-3x-2)(x+1)+2x-1

A(x)=x^3-2x^2-3x-3,B(x)=x^2-3x-2,Q(x)=x+1,R(x)=2x-1とこくと，この式は

A(x)=B(x)Q(x)+R(x)

となっています．さて，求めるものはA(3/2-√17)であるのでこの式でx=3/2-√17とします．このとき

B(3/2-√17)=0

であることを考えると，（だからこの式でA(x)でわったのです！)

A(3/2-√17)=B(3/2-√17)Q(3/2-√17)+R(3/2-√17)=R(3/2-√17)=2(3/2-√17)-1=2-2√17

答えはこうではないですか．

yyssaa · Answer

＞
x=(3-√17)/2
2x-3=-√17、両辺二乗して
4x^2-12x+9=17
4x^2-12x-8=0
x^2-3x-2=0・・・(1)
x^3-2x^2-3x-3を(1)の左辺で割ると商がx+1で余りが2x-1
よってx^3-2x^2-3x-3=(x^2-3x-2)*(x+1)+(2x-1)
(1)でx^2-3x-2=0ですから
x^3-2x^2-3x-3=2x-1
右辺にx=(3-√17)/2を代入して
x^3-2x^2-3x-3=(3-√17)-1=2-√17になります。

数学１の問題です。

x = (3 － √17) / 2

寄せられた全ての回答をご参考になさってください。

例えば、１７÷５＝３余りを考えましょう。

(x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3) ÷ (x^2 － 3x － 2)

>なぜ割ったのか

＞

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