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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>Qは面EFGH上として回答します。
(1)長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
さらに、線分BP、PQの長さは?
>立方体ABCD-EFGHの上面を反時計回りにABCD、下面を同じくEFGH
(Aに対応する点をE)とすると、長方形DBFHはDB=FH=√2、BF=DH=1
の長方形となり、線分ACがBDの中点(Rとする)を通るので、三角形
ACFとの交線は、RとFを結ぶ線分RFとなり、点Pは線分RFと線分BH
との交点となる。
△BPR∽△PFHからBR/FH=BP/PH、BH=√{1^2+(√2)^2}=√3から
PH=(√3)-BPなので、BR/FH=BP/{(√3)-BP}=1/2から
BP=(√3)/3・・・答え
△BFH∽△PQHからPQ/BF=PH/BH=[(√3)-{(√3)/3}]/√3=2/3
よってPQ=(2/3)BF=2/3・・・答え
(2)四面体ABCFに内接する球の中心をOとする。
点Oは線分BP上にあることを示せ。
>Oから△ABFへ下ろした垂線の長さとOから△BCFへ下ろした垂線
の長さは等しい。ということはOは長方形DBFHの面上にある。
同じくOから△ABFへ下ろした垂線の長さとOから△ABCに下ろした
垂線の長さは等しい。ということはOは長方形ABGHの面上にある。
長方形DBFHと長方形ABGHの交線はBHであり、BHと△ACFとの交点が
Pであるから、Oは線分BP上にあることになる。
(3)四面体ABCFに内接する球の半径を求めよ
>内接する球の半径をrとすると四面体ABCFの体積は、△ABC、
△ABF、△BCF、△ACFのそれぞれを底面とする高さrの4個の三角錐
の体積の合計になる。
△ABCの面積=△ABFの面積=△BCFの面積=1/2、△ACFは1辺の長さが
√2の正三角形なので、その面積=(√3)/2
よって、四面体ABCFの体積=(1/3)r{3*(1/2)+(√3)/2}={(3+√3)/6}r
一方、四面体ABCFを底面が△ABCで高さBFの三角錐として体積を計算
すると、四面体ABCFの体積=(1/3)*(1/2)*1=1/6。よって
{(3+√3)/6}r=1/6からr=1/(3+√3)=(3-√3)/6
以上から、四面体ABCFに内接する球の半径は(3-√3)/6・・・答え
No.3
- 回答日時:
>1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。
> 3点A,C,Fを含む平面と直線BHの交点をP、
> Pから面におろした垂線の足をQとする。
>(1)長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
> さらに、線分BP、PQの長さは?
ACとBDの交点をRとします。(対角線の交点)
△BPR∽△HPF(2つの角が等しい)だから、
BP:HP=BR:HF=√2/2:√2=1:2 ……(1)より、
BP=(1/3)BH
△BFHは直角三角形だから、
BH^2=BF^2+FH^2=1^2+(√2)^2=3より、BH=√3
よって、BP=1/3・√3=√3/3
Pから面EFGHにおろした垂線の足をQとすると、
△HPQ∽△HBF(2つの角が等しい)だから、(1)より、
PQ:BF=HP:HB=2:3から、
PQ:1=2:3
よって、PQ=2/3
>(2)四面体ABCFに内接する球の中心をOとする。
> 点Oは線分BP上にあることを示せ。
>(3)四面体ABCFに内接する球の半径を求めよ。
(2)と(3)を混ぜたような感じで回答します。
点Oは線分BP上にあるとする。
△ACFは1辺が√2の正三角形だから、その高さFRは、√2×√3/2=√6/2
△BPR∽△HPFより、FP:PR=HP:BP=2:1だから、
PR=(1/3)FR=1/3・√6/2=√6/6
△BACで、BR^2=BA^2ーAR^2=1^2-(√2/2)^2=1/2より、BR=√2/2
△BRPを考えると、BR^2=(√2/2)^2=1/2
BP^2+PR^2=(√3/3)^2+(√6/6)^2=(3/9)+(6/36)=1/2 だから、
BR^2=BP^2+PR^2より、△BRPは、∠BPR=90°の直角三角形
BP上に点Oがあり、それが四面体ABCFに内接する球の中心であるとし、
点OからBRへ引いた垂線の足をSとする。
内接する球の半径をrとすると、OS=OP=r
(rは、中心Oから面△ACFと△BACまでの距離)とおける。
△BOS∽△BRP(2つの角が等しい)だから、
OS:RP=BO:BRより、(BO=BP-OP)
r:√6/6=(√3/3ーr):√2/2
(√2/2)・r=√6/6・(√3/3ーr)
(√2/6)・(3+√3)・r=√2/6
よって、点Oが線分BP上にあるとき、内接する球の半径は、
r=1/(3+√3)=(3ー√3)/6 ……(2)
四面体ABCFに内接する球の半径をRとする。
四面体の体積は、
底面が△BACのような等辺1である直角二等辺三角形で、高さがRである四面体3個と、
底面が△ACFで、高さがRである四面体1個を足し合わせたものだから、
(1/3)・(1/2)・1・1・R×3+(1/3)・(1/2)・√2・(√6/2)・R=(1/3)・(1/2)・1・1・1
とおける。
(1/2)R+(√3/6)R=1/6より、
(1/6)・(3+√3)・R=1/6
よって、R=1/(3+√3)=(3ー√3)/6 ……(3)
(2)(3)より、四面体ABCFに内接する球の中心Oは線分BP上にあり、
内接する球の半径は、(3ー√3)/6
図を描いて考えてみて下さい。
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