ポアンカレ予想について

「数学者はキノコ狩りの夢を見る～ポアンカレ予想・100年の格闘」という番組を観たのですが、疑問に思うことがありました。

ポアンカレ予想を証明するにあたり、多くの数学者達がロープの結び目についての問題で頭を悩ませていたようですが、結局その問題はどのように解決されたのでしょうか？

ポアンカレ予想が微分幾何学やリッチフローというものを使って解かれたということは番組を観てわかりました。
トポロジーを使うのでなければそもそも結び目の問題は発生しなくなるのでしょうか？

番組はペレルマンがポアンカレ予想を解いた後姿を消したということに焦点が当てられていたようで、その部分がとても気になっています。
数式などを詳しく勉強すればわかるかもしれないのですが、そこまでの知識がないので何方か簡単に説明して頂けたらありがたいです。

No.2 回答者： Water_5 回答日時： 2013/03/04 17:36

ペレルマン氏はポアンカレ予想を解決させました。

リッチフローでわかるように微分幾何学の分野から
証明に成功したのです。

多くの数学者は位相幾何学の手法で証明しようとしていました。

エベレスト登頂にたとえるとわかりやすいです。
多くの数学者はあるルートから登ることだけを考えていました。
しかし、そのルートは登り難く失敗を繰り返していました。

しかし、ペレリマン氏は裏側からの登頂を目指したのです。
そして、成功を収めました。

ペレリマン氏は所謂目の付け所が違うということです。

２，３の検証グループも証明は正しいと言う結論を出しております。ので証明に成功した」のは間違いないでしょうね。

この回答へのお礼

ペレルマンの証明が誰の目から見ても正しいのであれば、どのように正しいのか自分でもより詳しく調べてみたいと思いました。

トポロジーでは証明ができないのかも気になります。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/04 17:56

No.1 回答者： SPROCKETER 回答日時： 2013/03/04 15:52

　ポアンカレ予想に関しては以下のリンクに詳しく書かれていますが、ＮＨＫのドキュメンタリーで詳しい内容を放送しなかったのは政治的理由で極秘になっている内容があるからだろうと判断しました。

　結び目の問題ですが、ロープは回収出来ないが正解だとすると、宇宙の形がわかりますよね。そうなると、我々が物理学の知識として常識だと思っている現象で、現実は違うのがわかるのが、いくつか出て来るようで、ビッグバン宇宙論などに与える影響が無視出来ないからでしょう。

　ビッグバン宇宙論によれば、宇宙は一つの点から膨張を始めて現在の大きさになったと考えていますが、それならば、結び目の問題は回収出来るという結論になるはずです。

　ところが、回収出来ないが正解であれば、宇宙は２つ以上の点から膨張を始めたわけで、我々がいる宇宙は２つ重なっているが正解という結論になり、ビッグバン宇宙論の大幅な修正が必要になって来ます。

　宇宙が多重であれば、従来の定説が崩れる例が数多く出る可能性があり、宇宙論に限らず、物理学に与える影響が大きいからでしょう。核兵器開発が可能であるかどうかが問題になった時期にも、同じような隠蔽工作がおこなわれた時代がありましたし、何か、とんでもない兵器開発がおこなわれる危険があるのかもしれませんね。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2% …

この回答へのお礼

政治的観点からも重要視されていた問題だったのですね。

自分でも色々な文献を読み、詳しく調べてみたいと思いました。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/04 17:50