直行行列の条件は
「正方行列を構成するn個の列(行)ベクトルが互いに直交し、各ベクトルのノルムは1。」
というのがあります。
列(行)ベクトルが互いに直交するというのはどういうことですか?行と列が直交するのはイメージがつくんだけど、列(行)同士は平行するという関係ではないですか?
また、各ベクトルのノルムが1というのはどんな意味ですか?ノルムを調べたけど、絶対値みたいなもんで、ここではどう理解すればよろしいですか?
このレベルの線形代数の知識がほとんどなくて、ネットで調べたり、本も買ったんだけど、線形空間という本の一番後ろに書いてあります。そこまでの知識を今猛勉強中です。
直交行列のところだけは今必要ですので、誰かわかる方はわかりやすく教えていただけますか?よろしければ直交行列の例を示していただけますか?今まったくどんなものかイメージがつかないです。
よろしくお願いいたします。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
←A No.2 補足
内積について、↑OA・↑OB = |OA||OB|cos∠AOB
は、知っているようですね? ならば、
v・v = |v||v|(cos 0) も、理解できるでしょう。
v のノルム(長さ)は、|v| = √(v・v) です。
√(v・v) = 1 と v・v = 1 は、同値な式です。
これと、u, v が直交すること u・v = 0 を併せると、
「ノルムが1で、互いに直交する」という条件が、
全て内積を使って表現できます。
同じ列どうしの内積は1、異なる列の内積は0ということです。
後は、(A転置)A の第i行j列成分が
(A転置) の第i行と A の第j列の内積、すなわち
A の第i列と第j列の内積であることを思い出せば、
(A転置)A = E の意味が理解できます。
親切なご説明ありがとうございます。とてもわかりやすく教えていただいて、よく理解できました。今読んでいる本の一ページ目にいきなり直交行列のことが出てきて、とても困っていました。今は大分それのことが理解できて、ようやく2ページ目に進められるようになりました。本当に感謝します。とても助かりました。
No.4
- 回答日時:
正規直交基底
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F% …
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/senkei/ …
直交行列やっているくらいだから、いくらなんでもグラムシュミットの正規直交化法は習ってるだろ。
No.3
- 回答日時:
あ、失礼。
「両辺を転置」じゃ、駄目だ。
転置しても、同じ (A転置)A=E にしかならない。
(A転置) が A の逆行列になるから、
A とは可換で A(A転置)=(A転置)A=E.
ここから、行の直交性 (A転置の転置)(A転置)=E
が出る。
No.2
- 回答日時:
行と列が「直交」って… 成分を並べて書く方向の話ですか?
そうではないでしょう。
行列の行や列は、ベクトルと見なすことができます。
ベクトルの「直交」は、ベクトルを有向線分と見たときの
線分の直交という意味です。
計算上は、内積が 0 になることで表されます。
ベクトルの「ノルム」は、要するに「長さ」のことです。
これも内積を使って表すと、ベクトル v のノルムが 1
であることは v・v = 1 と書けます。
上記を併せると、行列 A の列ベクトルが互いに直交して、
それぞれノルムが1であることは、(A^t)A = E ←(*)
(^t は転置、E は単位行列を表す) と書けます。
(*) の両辺を転置すると、(A^t^t)(A^t) = E となります。
A の列ベクトルが正規直交であることと、A^t の列ベクトル
…すなわち A の行ベクトルが正規直交であることは
同値だという訳です。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
直交すると、内積が0になるのがわかりました。
A・B=ABcosθ。直交すると、cos90°=0。A・B=0。
ベクトルの長さはなぜv・vになるのですか?この長さはsqrt(v^2)で表す絶対値の長さと何が違いますか?
「行列 A の列ベクトルが互いに直交して、
それぞれノルムが1であることは、(A^t)A = E」よくわかりません。
転置行列(行と列が入れ替えた行列)と単位行列(対角線が1でそれ以外が0の行列)はわかりますが、なぜ上のようになるかはわかりません。
正規直交とはどんなことでしょうか。
いろいろわからなくて、申し訳ございません。もうちょっと教えていただけますでしょうか?
よろしくお願いいたします。
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