位置ベクトルの考え方

Question

位置ベクトルの考え方でよく分からない点があります。

例えば点O(0,0)を原点とする座標平面があって、点A(2,2)はOからx軸方向へ2、y軸方向へ2移動したものです。

ベクトルは向きと大きさで定義されますよね。
なので座標を定めるという行為は、向きと大きさを決めるということだと思っています。
（x,y軸方向へどれくらい動かすかを決めると、自動的にOからどの方向にどれくらいの大きさの矢印が伸びるかが決まるから）

これがベクトルを定めると（x,y軸方向へどれくらい動かすかを決めて向きと大きさを決めると）、点の位置が定まる（座標が決まる）ということですよね？

また、始点は原点ではなくてもいいんですよね？

ということは点X(1,1)を始点として、点A(2、2)は始点Xからx軸方向へ1、y軸方向へ1移動した点、つまり点Xに関する点Aの位置ベクトルと考えていいということでしょうか？
もしこうでない場合、どう考えるのでしょう？

質問の要点は、

(1)私の位置ベクトルの解釈の正しさ（おかしい部分があれば指摘していただけるととても嬉しいです）
(2)始点の取り方について

この2つです。

よろしくお願いします！

alice_44 · Accepted Answer

まず、ベクトルについて：
ベクトルに始点は無いです。貴方も書いているように、
ベクトルは長さと方向を持つもので、始点は持ちません。
紙に矢印(「有効線分」と呼ぶとそれらしい？)を書くと
始点終点がありますが、平行移動で移りあう有効線分を
同じと見なしたものが「ベクトル」であって、
ベクトルには始点の情報は残っていないのです。

次に、位置ベクトルについて：
上記の事情で、ベクトルと始点とを両方指定すると
有効線分が決まり、その終点も決まります。
共通の始点を固定しておくことで、終点の位置と
ベクトルとを一対一対応さたのが「位置ベクトル」です。
位置ベクトルにはその共通の始点が必要で、
それを「基準点」とか「原点」とか呼びます。
原点は、好きな場所に置いて構いません。
教科書等の例題で △ABC を扱うとき、
ベクトルAB = ベクトルb, ベクトルAC = ベクトルc と置く
…とやることがあるでしょう？ この点 A が、
位置ベクトルの「原点」です。

質問の状況では、貴方は点 X を位置ベクトルの原点に
しようとしている訳ですが、それ以前に、
点 O が原点だったり、X の座標が (1,1) だったりする
座標系が平面上に設定されているのですね。
貴方の位置ベクトルの原点と、与えられた座標系の原点を
「原点」という言葉で混同したのが、混乱の源です。
そこで混乱するなら、位置ベクトルのほうは「原点」でなく
「基準点」と呼んでおくのが安全かもしれません。
その両者は別のもので、一致させる必用は特にありません。

info22_ · Answer

No.1です。

ANo.1の補足について
>(1,1)と書いている時点で(0,0)を基準に考えていることになりますから

(1,1)と書いただけでは位置ベクトルの成分表示か、（方向）ベクトルの成分表示か、決まっているわけではではない。
なぜ、「(0,0)を基準に考えていることになります」と決めてしまうのですか？

>A点の位置ベクトルはX点の位置ベクトルを使って考えることになるんですね。
A点の位置ベクトルは→OAです。
X点の位置ベクトルは→OXです。
A点の位置ベクトル→OAは、必ずしも→OXを使わないと表せないというわけではありません。
ベクトル的には
→OA=→OX+→XA
という関係が成り立っているだけのことです。

>「三角形ABCの重心をGとする時、→GA+→GB+→GC=0であることを証明せよ」という問題で、
>Gを始点にして考えていました。
→GAと書けば点Gが始点ということです。

>三角形を動かして重心Gを原点Ｏに重ねて考えるという考え方なのであれば、
原点Oをどこにとるかは扱う人が決めればいいことです。
問題が原点Oを重心Gにとった方が簡単になるならそうしても何も問題はありません。一般性が失われるわけでもありません。

>解説を読むと、「Ｏは任意の点でよいので、Ｇを始点と考える」という旨の文が書いてありました。
これにより何の問題も発生しないでしょう。

>任意の点で良いという文章の意味が分かりません。

ベクトルの始点は決まっていません。
位置ベクトルの始点は原点です。
また原点Oをどこにとるかも、自由です。
という意味です。
なので、重心Gを原点Oに選んでもよいでしょう。

>この文章は「位置ベクトルの始点Ｏは原点でなければならない」ということに矛盾する
どこも矛盾していないと思います！？

info22_ · Answer

(1).(2)
>ベクトルは向きと大きさで定義されますよね。
その通り。

>始点の取り方について
>始点は原点ではなくてもいいんですよね？
「位置」を頭に冠した「位置ベクトル」は「始点」が原点のベクトルのことです。従って、「位置ベクトル」の終点は、絶対座標です。つまり「位置ベクトル」のX成分とY成分はベクトルの「終点」のX座標とY座標となります。

頭に冠しない「ベクトル」は「始点」の座標は指定されません。つまり、方向と大きさだけで定義されます。
「ベクトル」のX成分とY成分は「ベクトル」の「終点」の
X座標とY座標から「始点」のX座標とY座標をそれぞれ差し引いた相対座標（座標の差分）となります。

>点Xに関する点Aの位置ベクトルと考えていいということでしょうか？

この場合の「位置ベクトル」の使い方は間違いです。始点が原点でない「ベクトル」に「位置ベクトル」という用語を使ってはいけません。一般の「ベクトル」と「位置ベクトル」の違いは「始点」の座標が指定されていない（すなわち原点に指定されていない）か、原点に指定されているかの違いになります。

A点の「位置ベクトル」は、「X点の位置ベクトル」＋「点Xに関する点Aの移動量を表すベクトル（方向ベクトル）」で与えられます。

位置ベクトルの考え方

まず、ベクトルについて：

No.1です。

(1).(2)

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング