大きさが等しいこととベクトルが等しいことは違うことなのですか。

ベクトル→a=(2,1),→b=(4,3),→c=(3,0),→d=(1,2)
｜→a+t→b｜=｜→ct+→d｜
をみたすtは2つある
答えは-1と1/5です。

大きさが等しいならばベクトルも等しいと考え
(2,1)+t(4,3)=(3,0)+t(1,2)
2+4t=3+t
1+3t=2t
t=-1,1/3となり間違えました。なぜダメなのですか。大きさが等しいこととベクトルが等しいことは違うことなのですか。
出典東京医大2015数学大問1(1)教学社赤本より引用

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/01/30 00:33

ベクトルとして等しければ大きさは等しいが, 大きさが等しいからといって必ずしもベクトルとして等しいとは限らない.

なにより, この質問文を読む限りあなたは「ベクトルが等しい」ということすら理解できていないように思える.

この回答へのお礼

その通りです。
ベクトルが等しいとは何なのですか。教えてください。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/01/30 01:39

No.2 回答者： narative_h 回答日時： 2016/01/30 01:28

ベクトルは「大きさ」と「向き」を持った量です。

↑と→は大きさは等しいですが、向きが違います。

この回答へのお礼

例えば(1,2)(2,1)は大きさは√5で等しいですがベクトルの成分は一致していないためですか。成分(x、y)はベクトルそのものなのですか。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/30 01:45

No.3 回答者： kmee 回答日時： 2016/01/30 07:25

ベクトル→vの成分(x,y)って、原点O(0,0)から座標V(x,y)へ引いた線分の長さと、その線分のOからVへの向きで、ベクトルの大きさと向きを表わしたものです。

「ベクトルが等しい」とは「大きさも向きも等しい」ことです。
大きさだけ、向きだけというのは等しいとは言えませんし、実際に等しくありません。

「大きさだけが等しい」という条件から、それと等価ではない「ベクトルが等しい」という条件に変えてしまったのが間違いです。


あともう一つ。
仮に「ベクトルが等しい」という問題だったとしても、間違っています。
　(2,1)+t(4,3)=(3,0)+t(1,2)
から
　2+4t=3+t
　1+3t=2t
はいいのですが。
ベクトルが等しいとは、全ての成分同士が等しいということです、
ということは、この2式を同時に満たす「連立方程式」でなければなりません。
それを、片方の式しか満さない t を答えにしてしまっています。(t=-1は下の式は満しますが、上の式は満しません)
そこが間違いです。

この場合
　2式を同時に満すtは存在しない 、よって、→a+t→b=t→c+→d を満すtは存在しない
が答えになります。
別の問題で
　x成分の式から t = tx0,tx1,tx2...
　y成分の式から t = ty0,tY1,ty2...
となったときでも、この全てが解になるわけではなく、 x成分の式、y成分の式を同時に満すものだけが解になります。

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/01/30 09:17

そもそも、スカラー量とベクトル量は次元が違う。

温度、質量、速さなどはスカラー量と言って値だけ持ちますが、速度とか運動量とかはベクトルですから方向と大きさを持ちます。・・・数学はある意味、道具ですから必ず実世界と関連付けて理解しないとなりません。
　数学は道具を離れて多次元に拡張されて例えば行列（"ゆとり"以来、学校で学ぶ機会は減っちゃったけど）は何次元ものベクトルを扱います。

　東の方向に速さ40km/hで走行している車と、西に向かって速さ40km/hで進行している車は、速さ（スカラー）は同じですが、速度（ベクトル）は違います。
速さと速度 - RAVCO( http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=5093&PHP … )

No.5 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/01/30 13:11

あなたが東京から大阪に行きたいときに、距離が同じ東北のどこかに連れて行かれたら、クレームを付けるでしょう。

砂1kgと金(Gold)1kgは、重さが同じなら価値も同じでしょうか。
量に何かが付随している、というのは日常的に転がっているのです。

この回答へのお礼

具体的に旅行の例を挙げていただきありがとうございました。
物凄くよくわかりました。素晴らしいです。

お礼日時：2016/01/30 21:58

No.6 回答者： puyo3155 回答日時： 2016/01/30 20:34

>大きさが等しいこととベクトルが等しいことは違うことなのですか。

もちろん違います。ベクトルには、大きさと向きがありますね。大きさは、ベクトルの要素の１つです。

>大きさが等しいならばベクトルも等しいと考え

なぜ、斜めに読むのか？論理を飛躍させず、素直に、
（２+4t, 1+3t) と、
（３＋ｔ、２ｔ）の

２つのベクトルの大きさが等しいとして、ｔの方程式を解けば、-1, 1/5が導かれます。（計算してないけど）

＜参考＞
2次元ベクトル(x,y)の大きさ = √（x² + y²）