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次の重積分を求めよがわかりません。 かなり初歩的だと思うのですが、独学なので聞く相手がおらず困っております。
∫∫D e^(-x-y) dx dy D={(x,y)| 0<=x<=1, 0<=y}

計算過程を書いて説明してもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

この積分は、被積分関数が (e の -x 乗)(e の -y 乗) というように


x の関数と y の関数の積で書けます。いわゆる「変数分離形」です。

∫∫f(x)g(y)dxdy は、g(y) が dx について定数なので、
∫f(x)dx から括り出して = ∫(g(y)∫f(x)dx)dy とすることができ、
更に、∫f(x)dx を dy についての定数として ∫g(y)dy から括り出せば、
結局、= (∫f(x)dx)(∫dg(y)dy) と変形できます。

質問の例では、与式 = (∫[0,1](eの-x乗)dx)(∫[0,∞](eの-y乗)dy)
= (1 - 1/e)(1 - 0) = (e-1)/e となります。
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