小林昭七先生の『曲線と曲面の微分幾何』P134問2-2で、表題の定理を球面で検証する問題が出ています。「Kθ1外積θ2」の領域Aでの面積分を使うと確かに計算結果と定理は合致しますが、面積分と等しいはずのω12のdAでの線積分の具体的計算とは合致しません。表題の定理はそれらが等しいというストークスの定理から導かれていて、これらが等しくないと定理自体が成り立たなくなり、非常に悩んでいます。表題の証明ではAを平面領域としているのに、問では球面に適用していることが原因と思いますが、そうなると表題の定理自体が使えないのではないでしょうか?またω12のdAの線積分が使えないのに、測地的曲率の線積分ではdAを使っています。これも理解できません。ご存知の方是非ご教示ください。よろしくお願い致します。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
質問が曖昧すぎて答えることができません。
ω12とは何ですか?問いをもう少し丁寧に説明してください。この回答への補足
すみません、詳しく書きたいのですが外積の記号や上付き下付きの数字等が旨く入力できないために、曖昧になっていると思います。分かり難いとは思いますが、小林先生の記号に従って具体的に書きますと、この節でのガウスボンネの定理は
∫AKθ1外積θ2 + ∫dAkgds=2π ー Σεi
のことで、Aは平面の領域、θ1、θ2はリーマン計量ds2から定義される1次微分形式(1,2は上付きの添数)、Kは曲率、dAはAの向きの付いた境界、kgは境界dAの測地的曲率、εiは境界の滑らかでない点での外角、となります。
小林先生はこのガウスボンネの定理を導くときに左辺第1項の積分を下の(1)を使っています。
∫AKθ1外積θ2 = ∫Adω12 = ∫dAω12 ・・・(1)
(1)の式のω12は接続形式のことで、曲面上の点pでの接平面を正規直交基底e1、e2、e3としたときのe1の微分de1をe1、e2、e3の和で表した時のe2の係数です。
具体的に書きますと
de1=ω11e1+ω21e2+ω31e3 で ω12=ーω21 のことです。
(1)の最初の等式は第二構造式から出てきます。尚、この1番目と2番目の面積分からは定理と合致した正しい値が出ました。(1)の2番目の等式がストークスの定理です。最初の質問にも書きましたが、小林先生はこの定理を用いてガウスボンネの定理を導いています。従って、ストークスの定理を用いて導かれた定理が(1)の第3式∫dAω12の計算結果と合致しないのはどうしてでしょうかというのが質問の趣旨です。
分かりにくい質問で申し訳ありませんでしたが、よろしくお願いします。
尚、設問の内容は、球の小円に対し具体的に計算して、ガウスボンネの定理が成り立つことを確かめよということです。
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