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確認したい事と質問があります。

波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?数と言っても単純に「波が1000個もある!」という意味ではなく、「ある単位長さ中に1個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか?
一般に波数kは波長λを使って、k=2π/λ、もしくはk=1/λと表されます。用いる単位系によって違いますが、ここでは分かりやすくk=1/λを例に取ります。例えばλ1=100[m]の波の波数はk1=1/100[m]となり、これは「100m中に1個の波がある」という意味であり、λ2=2[m]の波の波数はk2=1/2[m]となり、「2m中に1個の波がある」という意味で、いずれもk<1なのはどれくらいの割合で波が1つあるのかという事を表してるのだと思っています。k2は2[m]中に1つの波があるので、仮にその波を100[m]にも渡って観察すれば、その中に50個も波が存在する。一方、k1は100[m]内に1個しか波が存在しない。よってk2の波の方が波の数が多い波である。以上が波の「数」なのに次元が長さの逆数を取る理由だと解釈してるのですが、合っているでしょうか?

また、(正否は分かりませんが)波数kを以上のように考えているのですが、波数ベクトルという概念の理解に行き詰まっています。個数であり、長さの逆数を取る量がベクトル量で向きを持つというイメージが掴めません。本にはkx、ky、kzと矢印だけはよく見かけるのですが、その矢印がどこを基準(始点)としてどこへ向いているのか(終点はどこなのか)が描かれていないので分かりません。波数ベクトルとはどういう方向を向いていて、それはどういう意味なのですか?一応、自分なりに描いてみたのですが下の図で合っているでしょうか?(1波長置きに存在するyz平面に平行な面に直交するベクトルです)

私の波数の考えが合っているか、波数ベクトルが図のようで合っているかどうか、波数ベクトルとは何かをどなたか教えて欲しいです。

「波数の意味と波数ベクトル」の質問画像

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A 回答 (4件)

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。


あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt% …^2%2By^2%29%29
このとき、x方向の波数は1、y方向の波数も1、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,1,0)
のように表すことができます。

さらに発展して考えたとき、x方向とy方向の波数が違っていてもいいですよね(下のリンクのような)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt% …^2%2B0.3*y^2%29%29
こうなるとx方向の波数は1、y方向の波数は0.3、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
のように表すことができます。

このように波数ベクトルは、現実の波をx,y,z成分で分けたときのそれぞれの波長(λx,λy,λz)から求めたものなので、あくまで波がどういう形になるのかしか分かりません。
なので波の始点や終点という概念はありません。
この波数ベクトルの利点は、たとえば現実空間で
y=sin(1*x)+sin(2*x)+sin(3*x)+sin(4*x)+・・・+sin((n-1)*x)+sin(n*x)
を考えるととても複雑なグラフとなりますが、波数空間ではkx=1,2,・・・.nの点の集合として表すことができます。(よくいわれるスペクトル表示的なものです)



波数ベクトルを現実世界の何かとして考えることはあまりないので割り切ってしまった方が楽かもしれません。
「波数の意味と波数ベクトル」の回答画像4
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この回答へのお礼

図まで付けてくれて有難うございます。とても分かりやすかったです。

お礼日時:2013/11/09 20:32

>波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?



直感的な説明としてはいいのでは。
2πをかけて位相にすることが多いですが。

>波数ベクトルとはどういう方向を向いていて、それはどういう意味なのですか?

古典波動の場合、波数ベクトルの向きは波面(同位相面)に垂直。
波数と波面法線ベクトルをまとめて一つのベクトルにしてしまうと扱いやすいという以上の意味はないんじゃないでしょうか?

量子力学的な粒子の場合はド・ブロイの関係式がありますので,波数は運動量に比例します。運動量はベクトル量なので波数もベクトルにしておいた方が自然で,その方向は粒子の運動方向(運動量の方向)。これで古典波動のアナロジーとして波数ベクトルが扱えるようになりますが,この場合,波面に垂直とかなんとかいうことは忘れてしまったほうがよいかと思います。量子の波動の波面てなんだ?ってことになってきますんで。

>波の「数」なのに次元が長さの逆数を取る理由だと解釈してるのですが、

アボガドロ数は「数」なのに次元が1/mol,振動数も「数」なのに次元が1/s。
「単位量当たりの数」を縮めて「数」と呼ぶことにさほどこだわらなくてもいいのでは?
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書き忘れてましたが、



波の進行方向の方向ベクトル を n=(a, b, c), a^2 + b^2 + c^2=1
とすると波数ベクトルは

k = -(2π/λ)n です。(λ: 波の波長)
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簡単に言えば 波数は 単位長さあたりの波の位相変化量です。



位置の変化 (Δx, Δy, Δz) に対して「平面波」の位相変化量は

波数ベクトル k = (kx, ky, kz)とすると

-(kx・Δx + ky・Δy + kz・Δz)

となります。

なので、波の3次元での「平面波」の一般的な式は

sin(ωt-(kx・Δx + ky・Δy + kz・Δz) + δ) (δ:初期位相)


つまり、平面波の位置の変化量の 波の進行方向成分に対する
位相変化量を表すのが波数ベクトルです。|k|=2π/λ になります。

kx は X軸を平面波の「山」が切る間隔、つまりX軸で測った波の波長 の逆数の2π倍 と
考えてもよいかもしれません。
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Q波数のイメージとその次元

題名の通り、波数のイメージとその次元がどうも食い違ってしまうと言いますか、ちょっと納得できないので質問します。
波数の定義は、k=2π/λ(または、本によってはk=1/λ)で与えられています。ここで、私は波数は2πという単位の長さを波長で割っているのであるから、これは単位長さ当たりの波の数だと考えました。大学の先生に聞いてもあやふやな答しか返ってきませんでした。(大学の先生はいろんなこと知っているけど、あまり考えていないの?(疑))
その後、いろいろ調べて「波数は空間周波数とも言える。」と書いてあるのを見つけました。普通、周波数と聞けば、単位時間当たりに何回振動するかだけど、これは時間ではなく空間で与えているだけかと思って納得してしまったのです。
でも、それでは波数の次元は無次元になってないとおかしいではありませんか。
しかし、本で調べたところ、波数の次元はm^-1ではありませんか。
波長の次元はmとして、2πの次元は無次元でないといけません。では、これは角度でradなのでしょうか?
そうすると、先ほど納得したイメージではつじつまが合いません。2πを長さと考えてイメージを作ったのですから。
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Aベストアンサー

おっしゃるとおり波数のイメージは>単位長さあたりの波の数
でまったくOKです。
ですから次のように考えてはいかかでしょう?
10m中に波が5回あるとき波数を求めるには、5(無次元)÷10(m)ですね。
ちゃんと次元もm^-1となるのはすぐに納得されると思います。
この時、先に波長2mが分かっていたらこういう求め方もできます。
波長は波1回あたりの長さだから10(m)÷5(無次元)として求めますが、
この式は波数とちょうど逆数の関係にあるので、波数=1/2mと求められます
ここで注意していただきたいのは1mを2mで割っているのではなく、2m(波長)の逆数をとっているという点です。
波数の定義の式も2πmや1mを波長で割ったのではなく、波長の逆数に2πをかけたもの、波長の逆数そのもの、と捉えるのが正しいのです。

もうひとつ波動関数の式 y=Asin(wt-kx)との関係から捉えるのも重要です。
(y:変位,A:振幅,t:時間,x:基準点からの距離)
sin()の中は位相で角度(無次元)なのでw,kの次元はそれぞれt,xの次元の逆数とするのです。ここでkを波長λを用いて求めると2π/λ(rad/s)となります
波動の式としてy=sin2π(wt-kx)の形をもちいた時には2πが消えたk=1/λとなるわけです。
長くなりましたが少しでも直感的理解の助けになれば幸いです。

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Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
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いま、
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ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

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Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q波数ベクトルと波動関数

質問が続けざまですみません。


バンド理論でよく波数ベクトルkが出てきて、kが大きくなると、エネルギーEも大きくなるような図をよく見かけます。何故、波数ベクトルkが大きいとエネルギーEも大きくなるのですか?振動数ν=c/λ、λ=2π/kをE=hνに代入して、E=hck/(2π)となります。波数kが大きいと存在する波の数(エネルギー量子の数)が多くなるので、エネルギーEも大きくなるという考えで合っていますか?

また自由電子などを扱っていますが、そもそも電子の何が波なんでしょうか。格子振動の章ではフォノンの振幅など振動子として扱うので波というのは分かりますが、電子の波動関数において波数ベクトルkが何を指しているかが分かりません。電子の波動関数とは電子の存在確率の大小が波のように広がっている事を表していて、その波の波数という事ですか?波動関数Ψ=exp(i k・r)が一体何を表してるのか、もしkが大きくなると電子はどうなるのか、イマイチ理解できません。

どなたかご教授してもらえないでしょうか。お願いします。

Aベストアンサー

x軸の運動量(の固有値)をPとすると、Pψ=-ih'∂/∂x ψ という関係を習ったと
思います。
自由粒子のψは、ψ=a exp(-ik x) です(その理由は、あとで説明します)
これを、上記の式に代入すると、
Pψ=-ih'∂/∂x ψ=h'kψ となりなす。
つまり、運動量=h'・波数 という関係が成り立ちます。
>もしkが大きくなると電子はどうなるのか
というと、kに比例して運動量が大きくなる ということです。
自由粒子のψを、このPを用いて書き直すと、
ψ=a exp(-iP x/h') とも書けます。

自由粒子のψが、ψ=a exp(-iP x/h') となる理由:
自由粒子は、運動量の固有状態です。つまり、Pは、ある1つの値に確定しています。
したがって、不確定性関係ΔPΔx≧hにより、Δxは、無限に広がっており、
どこかの位置xが、特別ということもありません。
で、ψ*ψが、存在確率を表すことを習ったと思います。
なので、運動量の固有状態の場合、ψ*ψは、無限に広がっており、その値は一定です。
この条件で、ψを求めると、ψ=a exp(-iP x/h') となります。

ψが、波でもあり粒子でもある理由:
上で示したように自由粒子のψは、まぎれもなく「波」です。
しかし、位置xの固有値Xは、xψ=Xψ で、求められ、この時、ψの固有関数は
デルタ関数δ(x-X)になります。
ψ*ψが、存在確率を表すので、デルタ関数の時は、一点Xだけに存在している 
といえます。それは、粒子を意味しますよね。

最後に、
質問の内容から推測すると、どうも、量子力学の数学的基礎が説明されていない古い教科書で、学ばれたように見受けられます。
量子力学の本質を理解するためには、清水明「新版 量子論の基礎」などの新しい教科書を
読まれることを、お勧めします。
尚、この本には「物理量が局所実在である理論」では説明できない「ベルの定理の破れ」が、丁寧に記述されています。

x軸の運動量(の固有値)をPとすると、Pψ=-ih'∂/∂x ψ という関係を習ったと
思います。
自由粒子のψは、ψ=a exp(-ik x) です(その理由は、あとで説明します)
これを、上記の式に代入すると、
Pψ=-ih'∂/∂x ψ=h'kψ となりなす。
つまり、運動量=h'・波数 という関係が成り立ちます。
>もしkが大きくなると電子はどうなるのか
というと、kに比例して運動量が大きくなる ということです。
自由粒子のψを、このPを用いて書き直すと、
ψ=a exp(-iP x/h') とも書けます。

自由粒子のψが、ψ=a e...続きを読む

Q波数(k)を用いた空間座標表示を導入する意義を教えて下さい

金属結晶中の電子の状態について波数(k)を用いた空間座標表示を導入する意義を教えて下さい

Aベストアンサー

私もかつて金属電子論を勉強しはじめに、なぜこんな恣意的な表示をするのか?と悩んだことがあります。そのとき私が最終的に納得した答えを書きます。これだけが理由ではないかもしれませんが、私は以下のように考えて納得しました。

まず、仮にkでなく、単純に位置で表示することを考える。
すると、ある位置に対して電子のエネルギーを、横軸位置、縦軸エネルギーのグラフにプロットすることになる。
しかし量子力学では、位置固有状態が、かならずしもエネルギー固有状態ではないので、位置とエネルギーを同時に決定できない。
したがって、「ある位置にある電子のエネルギー」という上記のようなプロットは不可能。

では、どうしたらいいか?答えは、エネルギーと同時に固有状態になるある物理量を横軸に選び、縦軸エネルギー横軸???という形でプロットをすればいい。

仮に、結晶でなくただの一様な空間だと平面波がエネルギー固有状態で、
運動量と同時に固有状態になるので、この運動量あるいは、これをプランク定数(2πでわったもの)でわった波数kを横軸に選べばいい。

じゃあ、一様な空間でなく結晶の場合は?その場合でも実はエネルギーと
同時に固有状態になる物理量が存在する。それは結晶運動量でこれをhbarで割ったものが波数kになる。この存在を保証するのがブロッホの定理。

したがってkを横軸にとるとそのkのときのエネルギーとして、E-Kのプロットを作れる。

私もかつて金属電子論を勉強しはじめに、なぜこんな恣意的な表示をするのか?と悩んだことがあります。そのとき私が最終的に納得した答えを書きます。これだけが理由ではないかもしれませんが、私は以下のように考えて納得しました。

まず、仮にkでなく、単純に位置で表示することを考える。
すると、ある位置に対して電子のエネルギーを、横軸位置、縦軸エネルギーのグラフにプロットすることになる。
しかし量子力学では、位置固有状態が、かならずしもエネルギー固有状態ではないので、位置とエネルギーを...続きを読む

Q波数に

ついてですがk=2π/λこの公式なんですがこれでなんで波の数がわかるんでしょうか??いまいち納得できません
たとえば波長が2mのだったら波数はπになるんですが
π個の波があることなんですか??

Aベストアンサー

まず1つの波は谷と山のセットです。そして1波長の長さは2πですよね、つまり2πで1つの波になるわけです。
だから、2πがいくつ入るか数えているんですから与式は正しいですよね

Q音響モード・光学モード

フォノンの光学モード、音響モードの図の見方がわかりません。わかりやすく説明できる方がいらっしゃったらお願いします。

ここ↓
http://cl.rikkyo.ne.jp/cl/2004/internet/kouki/rigaku/hirayama/041222/12_22.html
のページの下から1/4あたりにある図みたいなのです。

Aベストアンサー

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていません。なぜでしょうか。
 固体の振動を例にとると、式1はλを小さくしていくと問題が発生します。つまり式1がどんなに小さな波長にでも成立するとすると問題が発生します。波長が0.01nmになったらどうなります。原子の間隔は0.1nmのオーダーなので、それよりも狭い領域に波の振動が含まれるとはどういうことでしょう。そういう波はありえないというか意味がないのです。
つまり式1は波長が極端に短いところでは変更を受けるわけです。

音響モードと光学モードとは、分散関係でkを小さくしていった場合、振動数がゼロになるのが音響モードで、有限の値をとるのが光学モードです。

結晶の単位胞に原子が1個しかない結晶では、音響モードしかありません。光学モードが現れるためには、単位胞に2個以上の原子が含まれる必要があります。

それではなぜ「音響」モードと呼ぶのでしょう。
音響モードは実は充分kが小さい領域ではω=ckという線形な関係に漸近します。つまり式1です。式1が表すのは音波だったため、「音響」モードと呼ばれます。

それではなぜ「光学」モードと呼ぶのでしょう。単位胞に原子が2つ含まれる場合はイオン結晶でよく起こり、片方が+、もう片方が-に帯電しています。
それが質問者の示したwebの図にもあるように互い違いに振動するモードが光学モードにあたり、+と-の電荷が互い違いに振動すると電気分極が振動し、光(格子振動の場合は赤外光)と相互作用します。

光学モードをもつ結晶に赤外光を当てると、光学モードの振動数に相当する赤外光が吸収されます。「光」で観測できるから「光学」モードです。

フォノンの光学モードと音響モードの話は、どんな固体物理の教科書にも載っていると思いますので、以上の説明の手がかりに一度じっくり読んでみられたらいかがでしょうか?

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていませ...続きを読む

Q実空間と逆空間のイメージとつながり

X線回折や電子線回折などで用いる逆空間についての質問です。X線回折などの質問はすでに出ているようなのですが、私の聞きたいところはどうも無いようなので質問させていただきます。
逆空間の点は実空間の面に対応しているなどと本に書いてありますので知識としては知っていますが、実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめません。なんとなくは分かるのですが。
実空間で長いものは逆空間では短くなる。その逆もそうですよね。逆空間で点になるのは球面はが広がった時に干渉して強め合ったところだけ出てきたってことですよね。
しかし、回折点がどの格子面に対応するのかがよく分かりません。(結晶の向きが分かっているってことなら、いいのですが。どこから面を透過してきた波なのか分からないのに基準はどこにとるのでしょう?)みなさんはどのようにはっきりとしたイメージが持てるようになりましたか、コツのようなものをお教えください。
ちなみに関連したことで、フーリエ変換というのも時間→(角)周波数ですから、単位を見て逆数になっているのでデルタ関数はいろんな周波数を含んでいるなぁとはなんとなく式を見て分かるのですが、こちらも(変換の過程の)イメージがはっきりしないのです。
どうもこれらの知識が繋がってきません。
これらのイメージを表示できるフリーソフトなどがあれば教えて下さい。
よろしくお願いします。

X線回折や電子線回折などで用いる逆空間についての質問です。X線回折などの質問はすでに出ているようなのですが、私の聞きたいところはどうも無いようなので質問させていただきます。
逆空間の点は実空間の面に対応しているなどと本に書いてありますので知識としては知っていますが、実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめません。なんとなくは分かるのですが。
実空間で長いものは逆空間では短くなる。その逆もそうですよね。逆空間で点に...続きを読む

Aベストアンサー

逆空間は逆格子空間のことですね。例の結晶格子の基本ベクトルをa,b,cとし、逆格子ベクトルをa*,b*,c*とすると
a*=(b×c)/V、b*=(c×a)/V、c*=(a×b)/V
Vは結晶の単位胞の体積でV=a・(b×c)=・・・
一般に逆格子空間の原点から(h,k,l)なる逆格子点に至るベクトルをP(hkl)とするとP(hkl)=ha*+kb*+lc*は実空間の格子面(h,k,l)に垂直で大きさ|P|は(h,k,l)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質を持っていますね。
以上、前書きが長くなりましたが、ご質問の
>実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空
>間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめ
>ません。
については結論から言って上に書いた関係をはがき程度のメモに絵を描いてポケットに忍ばせておき、時折その絵を眺めつつイメージをたくましくしていく以外にないのではないでしょうか。フーリエ変換の関係も同じです。
このあたりのイメージを強めていくのに下記URLが参考になると思います。そこには「マイクロ波による散乱実験を通して逆格子空間を体感する」とあります。がんばってください。
(P.S)
フリーソフトは知りませんが、バンド理論というキーワードで検索すればヒットするかも知れません。

参考URL:http://labeweb.ph.kagu.sut.ac.jp/LabExercise/micro/micro.html

逆空間は逆格子空間のことですね。例の結晶格子の基本ベクトルをa,b,cとし、逆格子ベクトルをa*,b*,c*とすると
a*=(b×c)/V、b*=(c×a)/V、c*=(a×b)/V
Vは結晶の単位胞の体積でV=a・(b×c)=・・・
一般に逆格子空間の原点から(h,k,l)なる逆格子点に至るベクトルをP(hkl)とするとP(hkl)=ha*+kb*+lc*は実空間の格子面(h,k,l)に垂直で大きさ|P|は(h,k,l)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質を持っていますね。
以上、前書きが長くなりましたが、ご質問の
>実空間からどのように考え(どのように変換して)逆...続きを読む

Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
  =P(1)+P(2)+…+P(6)
  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む


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