電子の運動方程式について

F=-eE-eυB-(mυ)/τ
のそれぞれの詳しい意味と説明をどなたかしていただけませんか。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2002/07/01 23:42

まず，ベクトル量とスカラー量を明確にしないといけません．

(→F) でベクトルのＦを表すなどの記法にして
(1)　　(→F) = -e(→E) - e(→v)×(→B) - m(→v)/τ
が正しい表式．
×は外積です．

denden_kei さんの言われるとおり
> 右辺第１項は電界Eから電子が受ける力です。
> 第２項は磁界Bから受けるローレンツ力です。

では，第３項は？
これは電子に対する散乱効果を現象論的に取り入れたものです．
摩擦力と似たような発想です．

多分，固体中の電子に電磁場がかかった話と思いますが，
電子は電磁場から力を受けるほか，不純物や格子振動などとも相互作用します．
こういう効果を正確に扱うのは難しいので，
速度に比例する抵抗力の形で取り入れたのが第３項です．

この回答へのお礼

ベクトルとスカラーの区別を指摘してくださってありがとうございました。
早速、書き直しました。
また、明確で端的な回答ありがとうございました。
分かりやすかったです。

お礼日時：2002/07/02 11:08

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2002/07/02 00:06

siegmund です．

Umada さん，お久しぶりです．
> 回答をまとめて送信しようとしたところでsiegmundさんの回答を拝見致しました。
> 大部分はダブってしまう失礼、お許し下さい。
偶々，私の方がタッチの差で早くなったに過ぎませんので，お気にされませんように．
Umada さんのご回答の方が丁寧でもありますし．

せっかく顔出したので，ちょっとだけ追加．
τは denden_kei さんの言われるように，時間の次元を持っています．
散乱緩和時間，などと呼ばれています．

No.3 回答者： Umada 回答日時： 2002/07/01 23:45

siegmundさんお久しぶりです。

回答をまとめて送信しようとしたところでsiegmundさんの回答を拝見致しました。大部分はダブってしまう失礼、お許し下さい。

1項目は電場から電子が受ける力、2項目はローレンツ力であるのはdenden_keiさんのご回答の通りです。
ただし、ローレンツ力は速度vおよび磁場Bの双方に垂直な方向に働きますから、ベクトルで表さねばなりません。
mh119さんのご質問の式は正しくは
F=-eE-ev×B-(mv)/τ
とあるべきです。ここにF, E, v, Bはベクトルで、e, m, τはスカラーです。×は外積の記号です。外積は二つのベクトルX, Yに対して定義されるもので、X, Yの双方に垂直で大きさが|X|と|Y|の積であるようなベクトルです(*)。
F=-eE-evB-(mv)/τ
と書いたなら、それはスカラー量間の演算を指すことになりますから誤りです。

最後のmv/τは緩和項などと呼ばれ、抵抗による減速を表します。物理的に言えば、時間τごとに何かと衝突してmvだけ運動量を失うことを意味します。
パチンコを思い浮かべて頂くと分かりやすいと思います。打ち上げられた球は上部から下部に向かって落ちます。何も抵抗がなければ等加速度運動になりますが、釘＝抵抗がありますからその都度運動量を失い、結局(ほぼ)一定の速度で落下することになります。
今、磁場が全くない条件で、電場だけで加速したとします。
F=-eE-(mv)/τ
となりますから、運動方程式を
mα=-eE-(mv)/τ
と立てることができます。ここにαは加速度です。
α=dv/dt
ですから、
m(dv/dt)=-eE-(mv)/τ
であり、これを解くと
v=-(τeE/m)(1-exp(-t/τ))
となります。
この式は十分時間が経過した時(t→∞)、電子はv=-τeE/mの一定速度で運動することを意味します。金属等の実際の材料で電気抵抗が存在するのはこの緩和項があるからです。(これがないと、電界さえかければ電子はいくらでも加速することになってしまいます)
実際の電気伝導はそんなに簡単ではないのですが、とりあえずこの項を入れないと現実と合わない、ということだけ理解しておけばよいと思います。

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*そのようなベクトルは向こう向きとこちら向きで2つ存在します。実際の世界と合致するのはそのうちの一つだけで、どちらを選択すべきか表現したのがフレミングの法則です。

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。
ここで、質問なのですが、
m(dv/dt)=-eE-(mv)/τをv=-(τeE/m)(1-exp(-t/τ))
と解いておられたのですが、
定常状態を仮定して、ωなる時間周期性を有するとすると
この方程式の解はどうなるのでしょうか？
もしよろしければ、教えてください！！

お礼日時：2002/07/02 19:58

No.1 回答者： denden_kei 回答日時： 2002/07/01 21:33

分かるところだけですみません。

＞F=-eE-eυB-(mυ)/τ
左辺のFは力でしょう。
右辺第１項は電界Eから電子が受ける力です。
第２項は磁界Bから受けるローレンツ力です。
第３項は,,すみませんが分かりません。mvは運動量で、τは時間の次元を持っているというところまでは分かりますが...。

この回答へのお礼

早めにお返事を下さってありがとうございました。

お礼日時：2002/07/02 11:06