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ナビエストークス方程式から,渦度方程式の導出を
するときに非線形項の(u・∇)uに∇×(回転)を
したいのですが,ベクトルの計算をどうしていいか
わかりません.
本やネットで公式などで調べたのですがわからないのです.どうか教えてください.

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A 回答 (1件)

(u・∇)u=1/2∇|u|^2-u×(∇×u) から



∇×((u・∇)u)=∇×(1/2∇|u|^2)-∇×(u×(∇×u))
=1/2∇×(∇|u|^2)-∇×(u×ω)

|u|^2はスカラーなので上の第1項は消えて(同様の理由で圧力も消えます)

∇×((u・∇)u)=-∇×(u×ω)

ここから先はお任せします。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます.

あつかましいのですが,再び質問があります.

(u・∇)u=1/2∇|u|^2-u×(∇×u)

上式がなぜこうなるのかわかりません.
よろしければ教えて下さい.

補足日時:2005/06/21 20:52
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    • 1
この回答へのお礼

すみません,わかりました.

公式
∇(A・B)=(A・∇)B+A×(∇×B)+(B・∇)A+B×(∇×A)

にA=B=uを代入すればでできました.これでなんとか導出できそうです.本当にありがとうございます.

お礼日時:2005/06/21 21:15

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Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

Q実質微分とは

こんばんは。

実質微分とは分かりやすく言うとなにを表しているのでしょうか?
普通の微分、偏微分とはどのように違うのでしょうか?
見識のある方、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

私なりに微分について回答させてください。
y=sin x という関数は、xが限りなく0に近いときにはy=xと近似できることは知っていますか?おそらく偏微分という言葉を知っている方ならご存知だと思います。
 微分というのはこのy=sin xという関数をy=x に近似した行為に似ます。今の例では、xが限りなく0に近いという条件がついていましたが、微分をする際にはこの条件が「xの変化が限りなく小さいとき」という条件になるのです。
 たとえば、y=x^2という関数において、x=2.0からx=2.000000000000000001に増加したときは、yの増加のしかたはy=x^2とy=2xではほぼ変わりません。
ではx=2.000000000000000001からx=2.000000000000000002に増加したらどうかというと、これも二つの関数の間には差はほぼありません。0.000000000000000001増加するところのどこを取ってもy=2xとy=x^2という関数はほぼ同じものになります。
 x=2からx=5に変化するときは二つの関数は変化の割合もまったく異なる関数に見えますが、微小変化のときは同じ関数とみなせます。
 上空から地上の景色を見たときと、地上にいるときの景色は違います。上空からは広い範囲が見えて、人は米粒のように見えますが、地上にいたら狭い範囲しか見えないが、人の表情や町の様子がはっきり見えます。
 何が言いたいかというとy=x^2に見えていた関数が実は限りなく細かく区切って見てみるとy=2xという関数であった、ということです。
 1人1人の人間に見えても実は無数の分子からできているように、通常の関数の世界と微分した世界では見方が違います。人間界が通常の関数の世界で、微分が分子レベルの世界です。要は関数に対する視点の違いです。
 細かく分けてみたらy=x^2がy=2xに見えた。その細かく分割したのをひとつひとつつなげたのが積分です。
 ちなみにdxというのは微小変化ですよね。これが細かく区切った最小単位だと考えれば、(dy/dx)*dx=dyなどといった意味不明な計算が成り立つのも納得いただけるかもしれません。
 以上、微分の説明でした。とても分かりにくくてすみません。結局言いたかったことは、微分がミクロで積分がマクロの世界だということです。
 また、偏微分はある一方向のみに細かく区切ったときのf(x,y)の振る舞いかたを表します。
 長くてすみません。

私なりに微分について回答させてください。
y=sin x という関数は、xが限りなく0に近いときにはy=xと近似できることは知っていますか?おそらく偏微分という言葉を知っている方ならご存知だと思います。
 微分というのはこのy=sin xという関数をy=x に近似した行為に似ます。今の例では、xが限りなく0に近いという条件がついていましたが、微分をする際にはこの条件が「xの変化が限りなく小さいとき」という条件になるのです。
 たとえば、y=x^2という関数において、x=2.0からx=2.000000000000000001...続きを読む

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Qポテンシャル流れ

頭の悪い質問かもしれませんが・・
流体力学で、非粘性かつ非圧縮性の「理想流体(完全流体)の渦無し流れ」のことを、「ポテンシャル流れ」と呼ぶのはなぜですか?

Aベストアンサー

渦無し流れ
rotv=0
のとき
v=gradφ
とスカラー関数(ポテンシャル関数)
の勾配で速度がきまるから

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Qgrad、div、∇

物理なのか、数学なのかという感じなのですが・・・。

まず、grad、div、∇について、分かりやすく教えていただけませんか?。
それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

数学も物理も苦手なので、詳しく分かりやすく教えて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが,
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は,チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって,気圧はうんと下がっちゃいます.
で,y,z 方向には全く動かず,x 方向にだけ動いたとします.
このときの p の変化の割合は,偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね.
同様に,x,z を固定して y だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y,
x,y を固定して z だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z.
つまり,以上の3つの偏微分で変化の様子がわかります.
ばらばらに3つ扱ってもいいですが,
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x,
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y,
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z,
というベクトルにしたのが grad p です.
ベクトルにしておくと,
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります.

なお,creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです.
p は圧力(の強さ)そのもの,grad p は p の変化の割合です.
その場所での圧力は p です.

div は,creol さんも書かれているように,発散です.
極限値が発散する,などの発散とは全く違いますので,念のため.
例えば,水流中に仮想的な直方体を考えてください.
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね.
で,場所にもよりますから,j(x,y,z) と書きましょう.
テキストファイルじゃうまく書けないですが,j はベクトルです.
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる,後述).
直方体の6面分全部考えてくださいよ.
水量ですから,スカラー量ですね.
え? 流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう?
ええ,それでいいんです.
つまり,div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量,本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています.
式で書くなら, div j = - ∂ρ / ∂t です.
右辺のマイナスは減少だからついているんです.
ふつうの水流(例えば,川なんか)なら?
div j の計算のときに,流出量をプラスとして考えているので,
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください.
ごくふつうに川が流れているとき,
上流の方から流入量と,
下流側への流出量は同じですよね.
そうすると,プラマイうち消して,div j = 0,
直方体の中の水量は時間変化しません.

え,直方体の大きさ?
あ,それはですね,十分小さくとってください.
小さくとれば,流入量も流出量も小さくなっちゃう?
実は,正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります.

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です.
jx は j の x 成分,他も同様.


∇の記号は creol さんの書かれているとおり.
読み方は「ナブラ」(nabla) です.
ちょっと変わった名前ですが,
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています.

grad,div,と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation,回転)があります.

わかりやすく,ということで回答してみました.

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる...続きを読む

Q壁面せん断応力の導出で

毛細管流量計を使って流体粘度を測定する実験をしました。

ニュートン流体が直径Dの円管内を管内平均流速vで流れる時、
層流における壁面せん断応力τwとせん断速度8v/Dの関係は
 τw=μ(8v/D)・・・(1)
μはその温度における流体の粘度だそうです。

また、流出した体積をV0、流出時間をtとすると、
V0=(πD^2/4)vtであるから、管内平均流速vは
v=4V0/πD^2tで求められる。すると
 τw=(ρgD/4L){Hi-(θv^2)/(2g)}・・・(2)
ρ:流体密度、g:重力加速度、L:毛細管長さ
Hi:水槽水位、θ:補正係数(=2.8)

このように、τwを表す2つの式がさも当然のように書かれています。
が、教科書を見ても載っていない式であり、
θのような聞いた事も無いような値まで入っていて、
どのように導出すれば出てくるのか判りません。
2つの式の導出方法を教えて下さい。

Aベストアンサー

後半の質問に回答します。

ベルヌーイの定理を使います。
水槽の水面と毛細管出口でベルヌーイの式をたてて、、
ρgHi=Δp+θ*ρv^2/2 (1)

ところで、
Δp=4τL/D (2)
ですから、
(1)(2)よりΔpを消去し、整理すれば
ご質問の式が出てきます。

Qシアとは?(気象学)

気象学で、よく「シア」という言葉を
聞くのですが、いまいちイメージが湧き
ません。ご存知の方、いらっしゃいまし
たら、どうかお教えください。

Aベストアンサー

 シアー(もしくはシヤー)の定義は、風向、風速(どちらか一方でも良い)が急に変化しているところを結んだ線です。
 しばしばその線に沿って気流が収束することになります。

 図で書くとこんな感じです。

北  ↓ ↓ ↓
↑--------- シアーライン
   → → →

  矢印は気流の流れ

 いかがでしょうか?

QfortranでのNaNについて

お忙しい所、NaNについて回答お願い致します。

fortranでプログラムを使用して数値計算を行っていますが、計算途中で結果がNaNとなり困っています。
NaNは、0で除算を行なったり、負の数の指数を求めようとした時に出る無限大や定義できない値のようなのですが、式を見ても0で除算を行なったり、負の数の指数を求めようとしている所はありません。

もし同じような経験をされて見事解決された方、居られましたらその時の対処法をお聞かせ願えないでしょうか。
何卒よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

環境(OSとコンパイラ)がわからないのでできるとは断言できないのですが、
浮動小数点レジスタの制御フラグをいじって、NaNが生成されたときに
例外が起きるようにしておけば、どこでNaNになるのかが絞れるのではないでしょうか?

いずれにしろ、注意深く値の変化を追っていくよりないと思います。

参考URL:http://www.xlsoft.com/jp/products/intel/cvf/docs/vf-html/pg/pg22.htm

Q線形・非線形って何ですか?

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む


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