ピタゴラスの定理 とオイラーの公式の関係

sin^2x+cos^2x=1はピタゴラスの定理の一例だと思いますが、この式をcos^2x-(isinx)^2と変形して(cosx+isinx)(cosx-sinx)=1としてみるとオイラーの公式の右辺と同じ項が出てきますが、ピタゴラスの定理とオイラーの公式の間には何か関係があるのでしょうか。

No.9 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/13 12:58

>これから、

>　sin^2(x) + cos^2(x) = 1
>を容易に導出できるのでしょうか？

これは、いささか食言気味ですね。

「マクローラン展開」の段階ではまだ見えませんけど、オイラーの公式が得られてしまえば、sin^2(x) + cos^2(x) = 1 を容易に導けます。

しかし、「ピタゴラスの定理」の証明に「オイラーの公式」を使ってみせても、多くの人々に理解してもらえるのでしょうか？

…といった程度のコメントでした。

　　

この回答へのお礼

私にはかなり難しいお話でしたが、とにかく勉強してみたいと思います。どうもありがとうございました。

お礼日時：2013/12/14 03:06

No.8 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/13 11:57

>私見では…「オイラーの公式」の根拠は「ピタゴラスの定理」にあり…です。

これも私見に過ぎませんが…。

オイラーの公式の解析的な導出としてポピュラーなのは、e(x), sin(x), cos(x) のマクローラン展開を並べ、e(ix), sin(ix) を作ってみると
　e(ix) = cos(x) +i*sin(x)
になる、という論法。
これから、
　sin^2(x) + cos^2(x) = 1
を容易に導出できるのでしょうか？

「ピタゴラスの定理」の証明は、やはり幾何的なものがわかり易そうです。

　　　

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。できる限り勉強いたします。

お礼日時：2013/12/14 03:07

No.7 ベストアンサー 回答者： Water_5 回答日時： 2013/12/12 20:19

もともとオイラーの公式はピタゴラスの定理とは

関係なく。解析学的なところから出来上がった公式です。

e^（ix)＝cosｘ＋isinｘ・・・・（１）
e^(-ix)＝cosx－isinx・・・・・（２）

（１）ｘ（２）
１＝cos＾２＋sin＾２・・・・・（３）

（１）式の単位円から
cos^２＋sin^2を求めると
＝１となる。（　（３）式より）

cos^2＋sin^2＝１・・・（４）
となり、これは単位円に於いてピタゴラスの定理が
成り立つ事を示している。

この回答へのお礼

やはりどちらが先ということはないのでしょうか。勉強させていただきます。

お礼日時：2013/12/13 02:31

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/12 19:35

>どちらが先ということがないということでしょうか。

私見では…「オイラーの公式」の根拠は「ピタゴラスの定理」にあり…です。

　　

この回答へのお礼

そうですか。中学くらいの勉強しか身についていないので、ピタゴラスの定理に愛着があります。オイラーの公式の基盤にこの公式があるのならばオイラーの公式にも親しみがわいてきます。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/13 02:35

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/12 17:57

蛇足。

>この単位円が、 Pythagoras の定理を体現しているわけです。

…といっても、それで Pythagoras の定理を証明できる、というものじゃありません。

為念。

　　　

この回答へのお礼

どちらが先ということがないということでしょうか。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/12 19:09

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/12 16:03

ANo.3 の続編。

>オイラーの公式
>　e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

… が得られたら、複素平面 (u+iv 平面　ふつうは x+iy 平面として図示するけれど x が使用済みなので…) 上に描いてみると？

u+iv 平面にて e^(ix) の座標をみると、実部 u が cos(x) で、虚部 v が sin(x) 。
e^(ix) の点から、たとえば u 軸へ垂線を立てれば、垂線の足から e^(ix) の点までの高さが sin(x) で、垂線の足から 原点 0 までの長さが cos(x) の直角三角形ができる。
e^(ix) の点から原点 0 までの距離は 1 。

したがって、e^(ix) の x を 0 から 2π までスキャンしていくと、e^(ix) の点は単位円を描く。

この単位円が、 Pythagoras の定理を体現しているわけです。

　　　

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/11 13:48

>…(cosx+isinx)(cosx-sinx)=1としてみるとオイラーの公式の右辺と同じ項が出てきますが…

オイラーの公式。
　e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

{cos(x), sin(x), e^(ix) } は一次従属セット。( {cos(x), sin(x) } は一次独立セット )
　　　　　　　　　　　↓　ならば
e^(ix) = A*cos(x) + B*sin(x) を満たす一意的な (複素) 係数 {A, B} が存在する
…はずなので、勘定してみると…？

というハナシが 参考 URL にあります。
　　　　　　　　　　　↓


　　　

参考URL：http://www.digistats.net/x/index.php?%A5%AA%A5%A …

この回答へのお礼

私の理解力では難しすぎますが、勉強いたしてみます。ご教示ありがとうございました。

お礼日時：2013/12/11 16:13

No.2 回答者： Water_5 回答日時： 2013/12/11 11:08

ピタゴラスの定理が中学校で習う基礎的な定理とした時

大学で習うオイラーの定理がピタゴラスの定理も含んでいる事を
示している。

この回答へのお礼

ご教示感謝いたします。

お礼日時：2013/12/11 16:14

No.1 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/12/11 01:47

オイラーの公式は、幾何学的には、複素平面の単位円をあらわしています。

なので、オイラーの公式と、ピタゴラスの定理・三平方の定理とには深い関係があります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …



☆(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=1
◇これはですね～、複素平面の点(1,0)───実平面でもいいです───を
角度θ回転した後、
さらに、
角度-θだけ回転、つまり、θだけ逆回転させた
ということをあらわしているんですよ。
なので、元の点(1,0)に戻ってしまった（ニコニコ）。

この回答へのお礼

なるほど、そうなのですか。勉強になりました。ご教示ありがとうございました。

お礼日時：2013/12/11 08:24