√２は本当に無理数？

直観主義の立場から√２が無理数であるかどうか判定できますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： lx002PH 回答日時： 2014/02/15 18:43

￢PでPの否定を表すとします。

背理法は
￢Pから矛盾が推論されるならばPであると推論してよい
です。
一方、否定導入則は
Pから矛盾が推論されるならば￢Pであると推論してよい
です。
いわば否定導入則は否定の定義ですから、これを採用しないと否定命題を扱えなくなります。当然直観主義でも採用してます。
実数の定義はされているとして、無理数の定義は直観主義では
有理数でない実数
であり、
有理数以外の実数
ではありません。有理数でない実数というのは
有理数とすると矛盾する実数です。教科書の無理数であるという証明はまさしくこのような証明を行っていますから、直観主義による証明でもあります。

この回答へのお礼

なるほど、無理数の定義自体が内包しているというわけですね。
よくわかりました。

お礼日時：2014/02/15 18:49

No.4 回答者： lx002PH 回答日時： 2014/02/15 18:25

本来の背理法は使えませんが、√2が無理数であることを示すのに使っているのは本当は背理法ではなく否定導入則と呼ばれるものです。

こちらは直観主義でも当たり前に使います。

この回答への補足

否定導入則ってなんですか？
当たり前とかいわれてもわかりません。

補足日時：2014/02/15 18:33

No.3 回答者： lx002PH 回答日時： 2014/02/15 18:11

教科書にある背理法によるとされる証明は通常直観主義でも推論規則とする否定導入則による証明ですから、もちろん直観主義での証明にもなっています。

直観主義をなんか神秘的なものとでも勘違いされてませんか？

この回答への補足

背理法使っていいんでしたっけ？

補足日時：2014/02/15 18:14

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2014/02/15 17:00

＞√２は本当に無理数？

はい。

この回答へのお礼

どうやって証明するのですか？
直観主義でですよ？

お礼日時：2014/02/15 17:52

No.1 回答者： tattutattu 回答日時： 2014/02/15 16:54

√というものは、そもそもピタゴラス学派によって定義がなされたものです。

√の中身が平方数でない限り、√は必ず無理数になるという性質があります。
そもそも、√2という数はこの概念が生まれなかった限り、存在しなかったので、
ゆえに無理数なのだと思います。
また、自然数などについてもそうですが、それを発見するというのも、当時の彼らにとっては難しかったと思います。言ってしまえば、自然数なども人間によって定義されたものです。まだ、これらの数字は理解しやすい概念であったので、有理数に分類されたのでしょう。
無理数と有理数について何が違うかと言えば、発見の過程が違うということです。
無理数は必ず人為的な操作を加えない限り、人間が認識できない数です。
一方、有理数は、直観的にも説明しやすいでしょう。

この回答への補足

直観主義と書いたのは直感的にという意味ではなくてブラウワーの直観主義のことなんですが。

補足日時：2014/02/15 17:51