平行でない2つの３次元ベクトル

平行でない2つの３次元ベクトルA,Bのデカルト座標における成分をそれぞれ（a,b,c),(d,e,f)とする。
A,Bの両方と直交し、長さが１のベクトルを求めよ。

全くわかりません。詳しい解説お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/04/22 09:32

2つのベクトルの外積を求め、長さを1に調整するのが

簡単。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/04/24 09:15

ANO4 ですが具体的に書くと、外積

(a, b, c) X (d, e f) = (bf-ce, cd-af, ae-bd)

これを 1 に正規化すればよいので、ベクトルの大きさは

√((bf-ce)^2 + (cd-af)^2 + (ae-bd)^2)

だから求めるベクトルは

(1/√((bf-ce)^2 + (cd-af)^2 + (ae-bd)^2)) (bf-ce, cd-af, ae-bd)

問題は解の網羅を求めてはいませんが、この正負を反転したもの(逆方向のベクトル)も
当然問題の条件を満たします。

No.3 回答者： info222_ 回答日時： 2014/04/22 05:40

>全くわかりません。

詳しい解説お願いします。
直交条件は内積=(U↑)・（V↑）=0を使い、
平行でない条件は内積=(|U↑|)(|V↑|)cosθとおくと, cosθ≠±1となります。これは、A↑,B↑の両方と直交し、長さが１のベクトルが存在する為の条件となります。

A,Bの両方と直交し、長さが１のベクトルを (p, q, r)とすると
　√(p^2+q^2+r^2)=1 ⇒　p^2+q^2+r^2=1 … (1)

「２つのベクトルが直交する　⇔ 内積=0 」であるから
内積　(a,b,c)・(p,q,r)=ap+bq+cr=0 … (2)
内積　(d,e,f)・(p,q,r)=dp+eq+fr=0 … (3)
A,Bは平行でない。
⇒ 内積 (a,b,c)・(d,e,f)
　　　=ad+be+cf≠±√{(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)}
⇒ (a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(ad+be+cf)^2≠0 …(4)

(4)の条件の下で、p,q,rの連立方程式(1),(2),(3)を解くと
(p,q,r)=(±(bf-ce)/√{(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(ad+be+cf)^2},
　　　　±(cd-af)/√{(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(ad+be+cf)^2},
　　　　±(ae-bd)/√{(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(ad+be+cf)^2})
　　（複号同順）

No.2 回答者： notnot 回答日時： 2014/04/22 01:51

そのベクトルを(p,q,r)とすると、A、Bと直交することから式が２つ。

長さが１であることから式が1つ。
つまり、3変数の３式なので、p,q,rについて解けます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/04/22 00:21

「直交する」とか「長さが 1」の意味もわからないと?