お願いします

曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれる部分の面積が曲線y=sin(x-a)(0＜x＜π)によって二等分されるとき、aの値を求めよ

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/14 02:57

y=sinx(0≦x≦π)とy=sin(x-a)の交点は

sinx=sin(x-a)

sinx-sin(x-a)＝0

和と差の公式より

2cos(x-a/2)sin(a/2)=0

cos(x-a/2)=0またはsin(a/2)=0

sin(a/2)=0はa=0となり無意味

よって

cos(x-a/2)=0

x-a/2=Π/2

x=(a+π)/2

曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれる部分の面積から曲線y=sin(x-a)(0＜x＜π)がきりとる面積Sは

x=(a+π)/2の左側の面積S1と右側の面積S2に分けて計算する。

つまり

S=S1+S2

S1=∫[a→(a+π)/2]sin(x-a)dx=[-cos(x-a)][a→(a+π)/2]=1-cos[(a+π)/2-a]=1-cos[(π-a)/2]

S2=∫[(a+π)/2→π]sin(x)dx=[-cos(x)][(a+π)/2→π]=1+cos[(a+π)/2]

S=S1+S2=2+cos[(a+π)/2]-cos[(π-a)/2]

曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれる部分の面積Tは

T=∫[0→π]sin(x)dx＝[-cos(x)][0→π]=2

条件は

T/2=s

すなわち

1＝2+cos[(a+π)/2]-cos[(π-a)/2]

cos[(a+π)/2]-cos[(π-a)/2]＝-1

cos[(a+π)/2]-cos[(π-a)/2]

＝cos(a/2)coa(π/2)-sin(a/2)sin(π/2)-[cos(a/2)coa(π/2)+sin(a/2)sin(π/2)]

=-2sin(a/2)sin(π/2)=-2sin(a/2)

よって

-2sin(a/2)=-1

sin(a/2)=1/2

a/2=π/6

a=π/3

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/14 01:24

で質問は何? まさか「解説してほしい」とか「答えを教えてほしい」なんていわないよね?