(問題)
a,bを正の定数として、曲線C:3^√(x/a)(三乗根aぶんのx)+3^√(y/b)(三乗根b分のy)=1(1)を考える。
曲線Cとx軸、y軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(疑問)
問題の解答は画像の通りなのですが、y/b={1-3^√(x/a)}^3として、それについてx軸y軸との交点を調べて、最後に、b{1-3^√(x/a)}^3を積分していますが、そもそも最初の(1)と同値かどうかの確認もしていません。
たとえば、x^2+y^2=a(aは正の定数)ならば、
y≧0のとき、y=√(a-x^2)、y≦0のとき、y=ー√(a-x^2)ですが、画像の解答では、無条件に両辺を3乗するということが行われていると思えてなりません。
No.1
- 回答日時:
奇数乗、奇数乗根は符号も保存します。
y=x^3, y=x^(1/3)のグラフを書いて考えてください。y=x^3ではx=2のとき、y=8ですが、y=x^(1/3)ではx=2のとき、y=2^(1/3)
で、y=x^3ならばy=x^(1/3)は成り立ちません。
こういうことを言っているのではないのでしょうか?(何を確かめるために2つのグラフを描くのでしょうか?)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
y=x^2 のグラフをかけば
一つのy(>0)に対して,二つのxが出てくるのはわかるでしょう
つまり
y=x と y^2=x^2 は同値ではない
一方,
y=x^3の場合は
任意の実数yに対して,y=x^3を満たすxが必ず一つ決まる.
つまり
y=x と y^3=x^3 は同値
これは一般にそれぞれ「偶数乗」「奇数乗」でも同じ
だから,実数だけを考える場合は
奇数乗して計算しても余計な値が入り込まないってこと
「奇数分の1乗」でも同じこと
#y=x^3とy^x^{1/3}のグラフを書いてみるというのは
#yとxがきっちり「1対1」なのが見てわかるでしょうとうこと
二乗(偶数乗)のときにはなぜ同値性を考える必要があるのかを
理解しましょう
この回答への補足
二乗(偶数乗)のときにはなぜ同値性を考える必要があるのかを
理解しましょう
>これまでも何度も2乗の同値性の議論については悩み質問してきたのですが、それでもだめなのかもしれません。
別の質問をするので、お答えいただけないでしょうか?
結論的にはy/b={1-3^√(x/a)}^3⇒∛(x/a)+∛(y/b)=1が成り立つからy/b={1-3^√(x/a)}^3⇔∛(x/a)+∛(y/b)=1が成り立つ。ということでしょうか?
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