三角関数の和→積の公式

の導き方を教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします

No.1 回答者： shushou 回答日時： 2001/06/10 17:30

sin(a+b)=sin a cos b+sin b cos a　　(1)

sin(a-b)=sin a cos b-sin b cos a (2)
この２式をたすと
sin(a+b)+sin(a-b)=2sin a cos b
となりますね。ここで a+b=A,a-b=B とおくと
a=(A+B)/2,b=(A-B)/2　ですから代入すると
sin A+sin B=2sin(A+B)/2 cos(A-B)/2
となって和積公式が出てきます。
ほかの和積公式は(1)から(2)を引いたり
cos(a+b),cos(a-b)をたしたり引いたりして
上と同じようなことをすれば出てきます。

No.2 回答者： ayappe 回答日時： 2001/06/10 17:45

私がつい最近、学校で習ったやり方で良いでしょうか…？

三角関数の和→積の公式ってsinA+sinB=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)の事ですよね？これは積→和の公式をつかって導いていくらしいんです。
α＋β＝Ａ、α－β＝Ｂとして辺々を加えると
２α＝Ａ＋Ｂとなってα＝Ａ＋Ｂ／２となる
同様に辺々を引くとβ＝Ａ－Ｂ／２となる
これらを積→和の公式sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}に代入すると
sin(A+B/2)cos(A-B/2)=1/2(sinA+sinB)となり
sinA+sinB=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)となる。

私はこういう風に習いました。お役に立てるかどうか…。

No.3 回答者： nom 回答日時： 2001/06/11 00:15

一般的には加法定理ですが、例えば図形的にも導くことが出来ます。

分かりやすくするためxy平面で考えます。
まず、x軸となす角がaとなる、長さ１の線分を原点Ｏから引き、その線分の端を点Ａとおきます。
次に、x軸となす角がbとなる、長さ１の線分を点Ａから引き、その線分の端を点Ｂとおきます。（ここではb>aとする）
この点Ｂからx軸へ垂線を降ろし、x軸との交点を点Ｈとします。
この時、線分ＢＨの長さは
「点Ａの高さ」と「点Ｂと点Ａの高さの差」を足し合わせたものになりますので、
　ＢＨの長さ＝ＯＡの長さ * sin(a) + ＡＢの長さ * sin(b)
　　　　　　　＝sin(a)+sin(b)　・・・・・(1)
となります。
一方、三角形ＯＡＢを考えると、この三角形は二等辺三角形（ＯＡ＝ＡＢ＝１）なので、角ＡＯＢは (b-a)/2 となります。これより線分ＯＢの長さは
　ＯＢの長さ＝2 * ＡＯの長さ * cos(b-a)/2＝2cos(b-a)/2
となります。
最後に、三角形ＯＢＨを考えると、
　角ＢＯＨ＝a + 角ＡＯＢ＝a+(b-a)/2=(b+a)/2
となるので、線分ＢＨの長さは
　ＢＨの長さ＝ＯＢの長さ * sin(b+a)/2
　　　　　　　＝2cos(b-a)/2 * sin(b+a)/2
　　　　　　　＝2sin(b+a)/2cos(b-a)/2
(1)より　ＢＨの長さ＝sin(a)+sin(b)　なので
sin(a)+sin(b)=2sin(b+a)/2cos(b-a)/2　　となります。

なんだか複雑に見えますが、実際に描いてみればそうでもないことが分かります。
これなら、加法定理を知らなくても導けます。

No.4 回答者： taropoo 回答日時： 2001/06/11 00:53

複素数をご存知ならオイラーの公式を使うとサインとコサインが一度に求まります。

オイラーの公式と言うのは
e^ix = cos x + i sin x
と言うものです。

これを使うと
e^i(a+b) = cos(a+b) + i sin(a+b)
ところでe^i(a+b) = e^ia・e^ibだから
e^i(a+b) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)

同様に
e^i(a-b) = cos(a-b) + i sin(a-b)
　　　　= e^ia e^i(-b)
　　　　= (cos a + i sin a)(cos b - i sin b)
この２式の両辺をくわえると
cos(a+b) + cos(a-b) + i(sin(a+b) + sin(a-b)) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) + (cos a + i sin a)(cos b - i sin b)
　　　　= 2(cos a + i sin a)cos b
　　　　= 2{cos a cos b + i(sin a cos b)}
この実部と虚部とをそれぞれ比べて
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b
sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a cos b

後はa+b = A, a-b = Bとおけば、a = (A+B)/2, b = (A-B)/2だから

cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)

となります。