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三角関数の合成についてです。合成する時、合成前の式のsinの係数をx軸に取り、cosの係数をy軸にとって考えますがなぜそのように置くのか教えてください。

A 回答 (3件)

asinθ+bcosθ を合成します。


原点をO、P(a,b)、OPとx軸の正の部分とのなす角をαとします。
OP=√(a²+b²)
a/√(a²+b²)=cosα より、a=√(a²+b²) cosα
b/√(a²+b²)=sinα より、b=√(a²+b²) sinα

これより、
asinθ+bcosθ
=√(a²+b²) cosα sinθ+√(a²+b²) sinα cosθ
=√(a²+b²)(sinθ cosα+cosθ sinα)
=√(a²+b²) sin(θ+α)

上に書いた合成の仕方が一般的ですが、Q(b,a) としても合成できます。
OQとx軸の正の部分とのなす角をβとします。
OQ=√(a²+b²)
b/√(a²+b²)=cosβ より、b=√(a²+b²) cosβ
a/√(a²+b²)=sinβ より、a=√(a²+b²) sinβ

これより、
asinθ+bcosθ
=√(a²+b²) sinβ sinθ+√(a²+b²) cosβ cosθ
=√(a²+b²)(cosθ cosβ+ sinθ sinβ)
=√(a²+b²) cos(θ-β)
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Asin(θ) + Bcos(θ)


の合成のような話?

これは、通常、係数 A, B から √(A^2 + B^2) をくくり出して

 Asin(θ) + Bcos(θ)
= [√(A^2 + B^2)]{[A/√(A^2 + B^2)]sin(θ) + [B/√(A^2 + B^2)]cos(θ) }   ①

として
 cos(φ) = A/√(A^2 + B^2)   ②
 sin(φ) = B/√(A^2 + B^2)   ③
となる φ を用いて、加法定理を逆に使って、

① = [√(A^2 + B^2)]{cos(φ)sin(θ) + sin(φ)cos(θ) }
= [√(A^2 + B^2)]sin(θ + φ)

にするよね。

②③を見れば分かるとおり、原点を中心に半径 √(A^2 + B^2) の円を書けば、その円の上の
 (A, B) = ([√(A^2 + B^2)]cos(φ), [√(A^2 + B^2)]sin(φ))
を通る半径のなす角度が φ になります。
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実はそうしなければならないという絶対の理由はない.



「三角関数の合成」というのは, 加法定理を (逆に) 使ってるんだよ.
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