三角関数の合成についてです。合成する時、合成前の式のsinの係数をx軸に取り、cosの係数をy軸にと

三角関数の合成についてです。合成する時、合成前の式のsinの係数をx軸に取り、cosの係数をy軸にとって考えますがなぜそのように置くのか教えてください。

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/08/23 20:42

asinθ+bcosθ を合成します。

原点をO、P(a,b)、OPとｘ軸の正の部分とのなす角をαとします。
OP=√(a²+b²)
a/√(a²+b²)=cosα より、a=√(a²+b²) cosα
b/√(a²+b²)=sinα より、b=√(a²+b²) sinα

これより、
asinθ+bcosθ
=√(a²+b²) cosα sinθ+√(a²+b²) sinα cosθ
=√(a²+b²)(sinθ cosα+cosθ sinα)
=√(a²+b²) sin(θ+α)

上に書いた合成の仕方が一般的ですが、Q(b,a) としても合成できます。
OQとｘ軸の正の部分とのなす角をβとします。
OQ=√(a²+b²)
b/√(a²+b²)=cosβ より、b=√(a²+b²) cosβ
a/√(a²+b²)=sinβ より、a=√(a²+b²) sinβ

これより、
asinθ+bcosθ
=√(a²+b²) sinβ sinθ+√(a²+b²) cosβ cosθ
=√(a²+b²)(cosθ cosβ+ sinθ sinβ)
=√(a²+b²) cos(θ－β)

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/23 18:39

Asin(θ) + Bcos(θ)

の合成のような話？

これは、通常、係数 A, B から √(A^2 + B^2) をくくり出して

　Asin(θ) + Bcos(θ)
= [√(A^2 + B^2)]{[A/√(A^2 + B^2)]sin(θ) + [B/√(A^2 + B^2)]cos(θ) }　　　①

として
　cos(φ) = A/√(A^2 + B^2)　　　②
　sin(φ) = B/√(A^2 + B^2)　　　③
となる φ を用いて、加法定理を逆に使って、

① = [√(A^2 + B^2)]{cos(φ)sin(θ) + sin(φ)cos(θ) }
= [√(A^2 + B^2)]sin(θ + φ)

にするよね。

②③を見れば分かるとおり、原点を中心に半径 √(A^2 + B^2) の円を書けば、その円の上の
　(A, B) = ([√(A^2 + B^2)]cos(φ), [√(A^2 + B^2)]sin(φ))
を通る半径のなす角度が φ になります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/08/23 18:13

実はそうしなければならないという絶対の理由はない.

「三角関数の合成」というのは, 加法定理を (逆に) 使ってるんだよ.