RC直列回路の実験です

抵抗RとコンデンサCが直列に接続されたときのインピーダンスについて考える実験で、どの瞬間においてもRとCとを流れる電流Iは共通であり、また全電圧VはVRとVCの和で考えられる。したがって
I=VR/R、I=CdVC/dt、V=VR+VC
が成り立つ。今、コンデンサの電圧が
VC=-Ucosωt
と与えられたとすると、
VR=ωCRUsinωt
I=ωCUsinωt
V=√1+(ωCR)^2 Usin(ωt-φ)
ただし
tanφ=1/ωCR
となるそうなのですが、どう変形すれば以上のような結果になるのかがどうしてもわかりません。教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： SKJAXN 回答日時： 2014/12/08 03:57

まず念のための確認ですが、I＝VR/Rはオームの法則より、

V＝VR＋VCは抵抗とコンデンサの直列接続より、
I＝C*dVC/dtは、コンデンサに蓄積される電荷をQとおくとI＝dQ/dtであり、これにQ＝C*VCを代入することにより導出されていますが、ここまではよろしいでしょうか？
次に、コンデンサにかかる電圧がVC＝－U*cos[ω*t]と与えられていますので、I＝C*dVC/dtから
I＝C*d(－U*cos[ω*t])/dt＝ω*C*U*sin[ω*t]
また、VR＝I*Rから
VR＝ω*C*R*U*sin[ω*t]
V＝VR＋VCより、
V＝ω*C*R*U*sin[ω*t]－U*cos[ω*t]＝U*(√((ω*C*R)^2＋1)*(sin[ω*t]*(ω*C*R)/√((ω*C*R)^2＋1)－cos[ω*t]/√((ω*C*R)^2＋1)))　（←三角関数の合成による変形です）
ここで、cos[φ]＝(ω*C*R)/√((ω*C*R)^2＋1)、sin[φ]＝1/√((ω*C*R)^2＋1)とおくと、
V＝U*(√((ω*C*R)^2＋1)*(sin[ω*t]*cos[φ]－cos[ω*t]*sin[φ]))＝√((ω*C*R)^2＋1)*U*sin[ω*t－φ]
ただし、tan[φ]＝sin[φ]/cos[φ]＝1/(ω*C*R)
となります。ご理解できましたでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
よくわかる説明でした。

お礼日時：2014/12/08 11:00