痔になりやすい生活習慣とは?

x^2+y^2+z^2=1の下での xy+yz の最大値、最小値を求めよ

この問題がわかりません
教えて下さい お願いします

A 回答 (1件)

3次元デカルト座標系(x,y,z)の代わりに3次元極座標系(球座標系:url参照)(r,Θ,φ)を考えます。



urlの図から明らかなように

x=rsinΘcosφ      (1)

y=rsinΘsinφ (2)

z=rcosΘ (3)

条件x^2+y^2+z^2=1はr=1と同値です。Θ,φは独立です。

問題の xy+yz=Pの対称性を考慮して(1)~(3)の代わりに

z=rsinΘcosφ      (4)

x=rsinΘsinφ (5)

y=rcosΘ (6)

にとります。

このとき

P=xy+yz=y(x+z)=cosΘsinΘ(sinφ+cosφ)

倍角公式よりcosΘsinΘ=(1/2)sin(2Θ)

単振動の合成よりsinφ+cosφ=sin(φ+π/4)/√2

P=(√2/4)sin(2Θ)sin(φ+π/4)


最大値は2Θ=π/2, φ+π/4=π/2のときP=√2/4

2Θ=π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し 

z=x=1/2, y=1/√2, 対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。


最小値は2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2または2Θ=π/2, φ+π/4=3π/2のときP=-√2/4

ここでは実際に2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2を満たすx,y,zが存在することを示す。

2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=3π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し 

z=x=1/2,y=-1/√2 ,対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。

参考URL:http://skyblueryu.blog54.fc2.com/blog-entry-19.h …
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