微分積分

x^2+y^2+z^2=1の下での xy+yz の最大値、最小値を求めよ

この問題がわかりません
教えて下さい　お願いします

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/21 18:28

3次元デカルト座標系(x,y,z)の代わりに3次元極座標系（球座標系：url参照）(r,Θ,φ）を考えます。

urlの図から明らかなように

x=rsinΘcosφ　　　　　　(1)

y=rsinΘsinφ (2)

z=rcosΘ (3)

条件x^2+y^2+z^2=1はr=1と同値です。Θ,φは独立です。

問題の xy+yz＝Pの対称性を考慮して(1)~(3)の代わりに

z=rsinΘcosφ　　　　　　(4)

x=rsinΘsinφ (5)

y=rcosΘ (6)

にとります。

このとき

P=xy+yz=y(x+z)=cosΘsinΘ(sinφ+cosφ)

倍角公式よりcosΘsinΘ=(1/2)sin(2Θ)

単振動の合成よりsinφ+cosφ=sin(φ+π/4)/√2

P=(√2/4)sin(2Θ)sin(φ+π/4)


最大値は2Θ=π/2, φ+π/4=π/2のときP=√2/4

2Θ=π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し　

z=x=1/2, y=1/√2, 対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。


最小値は2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2または2Θ=π/2, φ+π/4=3π/2のときP=-√2/4

ここでは実際に2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2を満たすx,y,zが存在することを示す。

2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=3π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し　

z=x=1/2,y=-1/√2 ,対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。

参考URL：http://skyblueryu.blog54.fc2.com/blog-entry-19.h …