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No.1
- 回答日時:
3次元デカルト座標系(x,y,z)の代わりに3次元極座標系(球座標系:url参照)(r,Θ,φ)を考えます。
urlの図から明らかなように
x=rsinΘcosφ (1)
y=rsinΘsinφ (2)
z=rcosΘ (3)
条件x^2+y^2+z^2=1はr=1と同値です。Θ,φは独立です。
問題の xy+yz=Pの対称性を考慮して(1)~(3)の代わりに
z=rsinΘcosφ (4)
x=rsinΘsinφ (5)
y=rcosΘ (6)
にとります。
このとき
P=xy+yz=y(x+z)=cosΘsinΘ(sinφ+cosφ)
倍角公式よりcosΘsinΘ=(1/2)sin(2Θ)
単振動の合成よりsinφ+cosφ=sin(φ+π/4)/√2
P=(√2/4)sin(2Θ)sin(φ+π/4)
最大値は2Θ=π/2, φ+π/4=π/2のときP=√2/4
2Θ=π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し
z=x=1/2, y=1/√2, 対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。
最小値は2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2または2Θ=π/2, φ+π/4=3π/2のときP=-√2/4
ここでは実際に2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2を満たすx,y,zが存在することを示す。
2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=3π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し
z=x=1/2,y=-1/√2 ,対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。
参考URL:http://skyblueryu.blog54.fc2.com/blog-entry-19.h …
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