独立なベクトル・1次結合

独立なベクトルの組を選び出し、それらの1次結合で残りのベクトルを表す問題なのですが解き方がわかりません。教えてください。

具体的な問題は
a=(-1,-2,2),b=(-3,-6,6),c=(1,1,0),d=(0,-2,4),e=(0,0,1)
です。よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/01/22 08:52

行列にすると、行列式が0にならない

3べクトルを適当に選ぶ。

No.2 回答者： f272 回答日時： 2015/01/21 22:41

1次独立な組み合わせは一意には決まりませんので，もちろんa,c,eの組み合わせでもOKです。

この場合には
d=(0,-2,4)=A(-1,-2,2)+B(1,1,0)+C(0,0,1)
の係数A,B,Cを求めます。展開すると
0=-A+B
-2=-2A+B
4=2A+C
ですので，1番目の式から2番目の式をひいて2=A
したがって2番目の式からB=2
これらと3番目の式からC=0です。

No.1 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2015/01/21 21:18

3次元ベクトルなのだから独立なベクトルは最大で3つです。

順番に求めていきましょう。
まず1つ目はどれでもいいです。後で計算が楽になるように簡単そうなe=(0,0,1)を選びましょう。
次に簡単そうなのはc=(1,1,0)ですが，これはeを何倍しても作れませんからeとは独立です。これで2つ目が決まりました。
次に簡単そうなのはd=(0,-2,4)です。これをc,eを何倍かして足すことで作れるかどうかを確認します。
(0,-2,4)=A(1,1,0)+B(0,0,1)です。
1番目の成分に注目すると0＝Aとなりますから(0,-2,4)=B(0,0,1)です。これは不可能ですね。
したがってdとc,eとは独立です。これで3つ目が決まりました。
あとは必ず一次従属です。
a=(-1,-2,2)=A(1,1,0)+B(0,-2,4)+C(0,0,1)を解きます。
1番目の成分に注目してA=-1
2番目の成分に注目してB=1/2
次のC=0は簡単ですね。
b=(-3,-6,6)=A(1,1,0)+B(0,-2,4)+C(0,0,1)の方は解くまでもなく，b=3aですからA=-3，B=3/2，C=0

この回答への補足

答えはa,c,eが1次独立でb=3a,d=2a+2cです。dは1次結合でどうやって求めればいいですか？

補足日時：2015/01/21 21:48