確率変数の二乗変換後の密度関数について

密度関数
f(x)=sqrt(2)-x
ただし、0<x<sqrt(2)

に対し、Y=X^2 の変換を行った密度関数g(y)を求めたいと思っています。
このとき、yの区間は、0<y<2ですよね。

g(y)=0.5*y^(-1/2)*(f(sqrt(y))+f(-sqrt(y)))

より、

g(y)=0.5*y^(-1/2)*(sqrt(2)-sqrt(y)+sqrt(2)+sqrt(y))
=sqrt(2)*y^(-1/2)

かと思ったのですが、区間 0<y<2 で g(y) を積分しても 1 になりません。

どこか間違っているのでしょうか。
（g(y)も密度関数なので、1になるという認識でいるのですが…）

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/01/30 13:32

>

g(y)=0.5*y^(-1/2)*(f(sqrt(y))+f(-sqrt(y)))

より、

g(y)=0.5*y^(-1/2)*(sqrt(2)-sqrt(y)+sqrt(2)+sqrt(y))
=sqrt(2)*y^(-1/2)

ここですね。
f(-sqrt(y))の値はどうなるでしょうか。x<0でf(x)は定義されていませんが、多分"0"ですね。
(そうでないとf(x)が規格化されない)

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すっきりしました。

お礼日時：2015/01/30 13:50

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/01/30 12:13

g(y)=0.5*y^(-1/2)*(f(sqrt(y))+f(-sqrt(y)))

から
g(y)=0.5*y^(-1/2)*(sqrt(2)-sqrt(y)+sqrt(2)+sqrt(y))
としたところはおかしいね. なんでそうなったの?