A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
これが一般式 y = ax² + bx + c であらわせる二次方程式だということは判りますよね。
ここで、最も単純な二次方程式
y = x²
のグラフについて考えます。頂点は(0,0)で、xの値がそれより小さくても大きくてもyの値は大きくなる。下に凸な放物線
この時に
y = x² + δ ⇒ y - δ = x²
の式は、y = x² のグラフをy軸方向に δ 移動したグラフだと判りますか?
次に、
y = (x - β)²
今度は、y = x² の式をx軸方向に β 移動したグラフになりますね。xの値が -β のときにy=0になり頂点になる
さらに、
y = αx²
今度は、y = x²のグラフを頂点そのままでy軸方向に(α倍)引き伸ばした形になる。αが1より小さいと縮むけど、α倍引き伸ばしたことに代わりはない。αが負の場合は天地が逆転して上に凸となる。
以上をまとめると
★重要
y = ax² + bx + c のグラフを y = α(x - β) + δ に変形できれば、その式が、「y = x の式をx軸方向に β、y軸方向に δ 移動して、y軸方向に δ倍 伸ばしたグラフだということがわかる。
これを平方完成という。
y = (1/2)x(20-x) 三角形の面積の式
展開すると
y = -(1/2)x² + 10x
★平方完成を行なう。
y = -(1/2){x² + 20x} と考える。(x - A)² = x² - 2Ax + A² より、x² - 2Ax部分だけ考える。
y = -(1/2){(x - 10)² + C} Cはこの時点では不明
展開すると
y = -(1/2){(x² - 20x + 100 + C}
= -(1/2)x² - 10x + 50 + (1/2)C
これと、
y = -(1/2)x² + 10x
を比較すると、Cは(-100)でなければならない。
よって、
y = -(1/2){(x² - 20x + 100 - 100}
= -(1/2)(x - 10)² - (1/2)100
= -(1/2)(x - 10)² + 50
すなわち
y = ax²の式を x方向に 10ずらして、上に凸で、頂点の座標が( 10, 50)であることが判る。
【別解】 微分を使う・・・高校で学ぶ
y = -(1/2)x² + 10x
(微分して)傾きの式は
dy/dx = -x + 10
0 = -x + 10 傾き0のとき
x = 10 頂点のx座標
代入して
y = -(1/2)(10)² + 10(10)
= -50 + 100
= 50 頂点のy座標
No.1
- 回答日時:
「答の式」が、どうして答えになっているかわかりますか?
y=-1/2x^2+10x (1)
のグラフを書いて、yが最大になる x を求めようとしているのです。
ところが、このままでは(1)の式のグラフがどんな形をしているか、ちょっとわかりづらいですよね。単なる二次曲線 y=ax^2+b なら良いのですが、「10x」という項があるので、分かりづらいです。
ということで、「10x」を消して(1)を y=aX^2+b という形に書き換えているのです。
x^2 - 2Ax + A^2 = (x - A)^2 の関係を使います。
y = -1/2x^2 + 10x
= -1/2 (x^2 - 20x +100 - 100) ←ダミーの100と -100 を追加
= -1/2 (x^2 - 20x +100) + 50 ←50は、(-1/2)×(-100) です
= -1/2 (x - 10)^2 + 50
つまり、X = x-10 と置換することにより
y = -1/2X^2 + 50 (2)
と書けました。これは、(X, y)=(0, 50) を最大値とする、上に凸の放物線ですね。
(2)は、X = x-10 =0 のときに最大値 50 になることが、このグラフからわかりますね。
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