虚数

3次方程式2x^3＋ax^2＋bx＋c＝0の1つの解が1−2iであるとき、1＋2iもこの方程式の解であることを示せ。ただし、a,b,cは実数の定数とし、iは虚数単位とする。
という問題ですが、示し方がよく分かりません。
どうか回答よろしくお願いします

No.3 回答者： viquick 回答日時： 2015/04/25 15:14

> シンプルに

> 「1-2i が解なら 1+2i も解である」
> って言えばいい.
x に 1 - 2i を代入して等号が成り立つなら、x に 1 + 2i を代入しても等号が成り立つことをいえばいい
実際 x に 1 - 2i を代入すると
左辺 = (-22 - 3a + b + c) + (4 - 4a - 2b)i
これが 0 に等しいならば
-22 - 3a + b + c = 4 - 4a - 2b = 0 ・・・ (*)
x に 1 + 2i を代入すると
左辺 = (-22 - 3a + b + c) - (4 - 4a - 2b)i となるが、(*) よりこれは 0 に等しい

d を 0 でない実数、a, b, c, p, q を実数とするとき、
3次方程式 dx^3 + ax^2 + bx + c = 0 の1つの解が p + qi ならば、p - qi もこの方程式の解であることは誰でも知っている
にもかかわらず、この問題では d = 2, p = 1, q = -2 と値を指定したうえで、このことを「示せ」と要求している
よって、出題の趣旨は面倒な数式を正しく計算させることであり、理屈や計算量を減らす技術は度外視している
実数係数の3次方程式は少なくとも1つ実数解を持つといったことは、この問題のテーマではない
質問者は何も考えず、ひたすら複素数の計算をして証明してください

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/04/23 23:57

シンプルに

「1-2i が解なら 1+2i も解である」
って言えばいい.

「解」というのがどういうものか理解できてれば簡単だね.

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/04/23 23:45

>2x^3＋ax^2＋bx＋c＝0の1つの解が1−2iであるとき、1＋2iもこの方程式の解であることを示せ。

ただし、a,b,cは実数の定数とし、iは虚数単位とする。

y=f(x)=2x^3＋ax^2＋bx＋c

はlim(x→±∞)y=±∞なのでかならずx軸と交わり、実解をもつ。これをαとすると

y=f(x)=2(x-α)(x^2+px+q)

の形に書ける。a,b,c,αは実数なのでp,qも実数である。
g(x)=x^2+px+q=0は題意よりx=1−2iを解とする。g(1-2i)を計算すると

g(1-2i)=-3-4i+p(1-2i)+q=0

これより p=-2, q=5

g(x)=x^2-2x+5=(x-1)^2+4

g(x)=0の解は1±2iである。

よって1＋2iはg(x)=0のもうひとつの解であり、

y=f(x)=2(x-α)(x^2-2x+5)

の解でもある。