高校数学 数列 極限

自然数nに対し、0≦y≦-x^2+2√n xを満たす整数の組(x,y)の個数をanとする。


(1)a3,a4を求めよ。

(2)mを自然数とするとき、am^2を求めよ。

(3)lim an/n√n を求めよ。
n→∞


この問題が分かりません。
どのようにして答えを導くのか、なぜそうなるかを教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/11/01 18:25

この問題が難しいというよりは、

「どこかで見たような問題」
だけ解ければ受かる大学が多いということです。
現に、崩す、手前で手が止まっちゃう人が多いはずです。
解らないから何もしないのと、崩してみるのと。
崩してみてやっと解る。崩さずに解る高校生は、たぶん100人規模。大学数学を知っていて、その辺りの「元ネタを知っている」というような人。
(1)はとても親切な「誘導」で、崩してみろ、と促しているのです。

私ならまず、
－ｘ^2 ＋ ２(√ｎ)ｘ
の式を検討します。
ｙ＝ｘ^2－１のグラフは描けると思います。
　＝(ｘ－１)(ｘ＋１)
で、つまり、ｘ＝１、－１でｘ軸と交わる、という意味です。
同様に、
－ｘ^2 ＋ ２(√ｎ)ｘ
＝－ｘ(ｘ－ ２(√ｎ))
と書けるでしょう。
すると、ｘ軸とどこで交わるか、つまり、ｙが正である範囲はどんな感じか、頂点はどこか、なんてことが判るでしょう。
ここまではやったのではないかと思いますが、まずは数えてみるのです。
ｎが１のとき、２のとき、３のとき、４のとき。
勿論、ｎが１３８６のとき、なんてのは「数えたくも無い」んで、本当は「数式計算でずるして出したい」わけで、なにか法則や拘束条件が無いか、と探しながら数えます。
二次曲線の頂点の座標は、(√ｎ,ｎ)なのですが、ｙ＝０,１,２,....、ｎの中に、何個ｘが整数である点があるのか、ということになるのでしょう。
ｙ＝－ｘ^2 ＋ ２(√ｎ)ｘ－１
ｙ＝－ｘ^2 ＋ ２(√ｎ)ｘ－２
ｙ＝－ｘ^2 ＋ ２(√ｎ)ｘ－３
...
ｙ＝－ｘ^2 ＋ ２(√ｎ)ｘ－ｎ
について、解の公式で解を出して、(√ｎ±√(ｎ－１),√ｎ±√(ｎ－２),√ｎ±√(ｎ－３),...,√ｎ,か？)その範囲内の整数値を数えるとか。
最後の奴は、頂点なんであっても一点なわけで、その座標が(√ｎ,ｎ)だから、ｘが整数になる条件は判るでしょう。
ただ、こう考えてみると、「きわ」のところが判り辛いですよね。
問題も、ａnの一般解を出せ、とは言ってない。
(2)の「誘導」にあるように、ｎがｍ^2と表せるような場合は特殊で。
特に、元の式が、ｘも整数なら、ｙも必ず整数になっちゃう。
この条件であれば、式にできそう。
あがいてみると、誘導の意味が判る。
上記のグラフのｘ＝０からもう一つの端まで、式にしてΣしてやれば良い。
(3)も、ａnで考えるのはギブアップした方が良いな、となりますし、ａ1,ａ2,ａ3,ａ4,ａ5,ａ8,ａ9,ａ10,等の結果から、m^2を使って挟み込まなきゃどうしようも無いのかな、ということになるでしょう。
やってダメならまた考えましょうと。
方針が決まれば、あとは手続きを間違えないことでしょう。

というわけで、こんな問題、パッと見て解法が浮かぶわけが無いんです。いえ、凡人には、ですが。
こういう問題は、
　「　わ　　か　　る　　か　　い　っ　！　」
と大きな声で突っ込みを入れてから解くのが良いかもしれません。解らないんだもん。
ａnの放棄が鍵なのかな。どう放棄するか。放棄できるのか。
上記は無駄だらけなんですが、それでも手が止まるよりは前に進むんです。

この回答へのお礼

誰もが解けない問題に手を出すよりも、誰もが解ける問題を完璧にできるようにすることが重要だというのはよく耳にします。この問題は前者に当てはまるということですね。

(3)はanを求めなくてもはさみうちの定理で解けるんですね。驚きました。


習っていた公式だったのに実際の問題で使いこなせてないあたり、まだまだ身に付いてないということですね。演習していきたいです。

二度に渡るご回答本当にありがとうございました。
満足のいく答えが導き出せました。

また、数学がもともと他の教科と比べて苦手意識があったので、見たことのない問題に当たったときの解法の糸口の探し方も教えていただいてありがたいです。

あれこれ考えて頭抱えながらも問題演習に励みたいです。

お礼日時：2015/11/01 21:59

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/11/01 13:24

ｎにいくつも数字を入れて、ｘとｙがどんな風になるか、確かめてみましたか？

この手の問題で、分かりません、って最初から何もしないのがまず間違っているのです。
この手の問題が「解る」人なんて、高校生には100人も居ないのでは。

例えば、
ｘ^2－４ｘ＋４
を因数分解せよ。
という問題なら、「なぜなに」の世界なのです。どうしてそうなるか、どうすれば良いか、この解法を適用すれば良い、と。
でもあなたのその問題は、普通誰にも解らない問題なのです、
解らない物を解るように「崩す」必要があるのです。難関大学の問題ですね。
あなたの志望校はどの辺りなんでしょうか。
センター止まりだとか中堅大学だとかそもそも数学は無いなんてことなら、こんな問題は解けなくて良いし解かなくて良いです。
しかし、文系でも、(京都は知らないが)東大一橋だとか、理系の難関大学だとかを目指すのであれば、この「崩す」、「試行錯誤してみる」、「あがいてみる」、という能力というか習慣は、必須です。
問題の意味は、ほぼ誰にも解りません。
解らないように、大学の先生が、世界的な数学者が、隠してあるのです。並の高校生に解るわけが無い。
でも、崩していけば見えてくるようにも作られているはずです。
今までの、解法があって、問題を見れば解るんだ、という世界に留まるのか、そうじゃ無い世界に飛び込むのか、よく考えてください。
青チャートを暗記すれば良いとか、やり方を覚えて適用すれば良いというのでは、通用しないのです。
崩した後で道筋が見えてくれば、そうでしょうけど。
(こういう崩す能力は元々あるから、俺は)青チャートで難関大学に受かった、という話ならいくらでもありそうですが、()の中身を抜いて話をする人が多すぎます。
それと、解答解説の中に、その手の試行錯誤が書かれていませんが、天才だったりそのからくりを知っている一ならともかく、そうで無い凡人なら、試行錯誤を山のようにしている、と考えた方が良いです。
高校入試か高一レベルか知りませんが、図形問題がそうですよね。解答に書いてあるようなことが、一発で閃くわけが無い。
あれこれ試行錯誤している中で、適切な処理をしていれば、そのうち解答に繋がる道が見えてくる。
同じことです。いえ、難関大学入試は優秀な人には解いて欲しいので、概ねこっちの方が親切だろうと思います。

この回答へのお礼

この問題そんなに難しいものなんですか。

大学は既に合格しました。個人的に数学を勉強していてどうしても分からなかったので質問して色々な見方があることを聞こうと思い至りました。

とはいえ、たしかに(1)などは数字を代入するなどして分からないなりにできることはあるので、その御言葉通り
「崩す」「試行錯誤してみる」「あがいてみる」習慣を身に付けるよう努めていきたい所存です。

回答ありがとうございました。
今後学習していくうえで参考にしていきます。

お礼日時：2015/11/01 14:09

No.1 回答者： tamaruu 回答日時： 2015/11/01 12:49

一番初めの根号は(√n)＊xですか？√(nx)ですか？am^2というのはa(m^2)ですか？(am^2)ですか？どちらも前者と解釈します。

(1)
地道に数えて
a3=9,a4=15
(2)
条件を満たすx=k(k∈ Ν)上の格子点の個数は-k^2+2mk+1より、
am^2=Σk=0→2m[-k^2+2mk+1]=(1/3)＊(2m+1)(2m^2-m+3)
(3)
(m-1)^2≦n≦m^2としてはさみうちの原理を用いる。とても見づらくなるので省略。答えは4/3

この回答へのお礼

見辛くてすいませんでしたm(__)m
前者の方で合ってます！
回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/11/01 12:55