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現在複素誘電率と物質の相互関係について勉強をしています.
誘電体を挿入した平行平板コンデンサーについて,電場Eを誘電体に印加しても,内部の電束密度DはすぐにはεEとはならず,位相遅れφを生じてεEとなります.

そのとき,誘電体の複素誘電率をε=ε'-jε"とすると,複素誘電率虚部ε"が位相変化φに由来しており,複素誘電率実部ε'から独立していることを示したいのですが,その過程が分かりません.
他のサイトには損失エネルギーは
L=1/2*ε"*ε0*ω*E0^2
ε0:真空の誘電率
E0:電場強度
と書いてありましたが,自分で導出をしたいので…

E=E0*exp(jωt)
D=D0*exp(j(ωt-φ))
として,dW=E*dDとすれば出るそうなのですが,うまくいかず0になってしまいます.

詳しい方よろしくお願いいたします.

質問者からの補足コメント

  • すみません…理解があまり追いついてないもので…
    少し説明不足だったかもしれません。電磁波一周期当たりの損失エネルギーを導出するとして、周期Tの電磁波の考えると、
    dW=E*dD=E*δD/δt*dt
    を用いて、

    E=E0*exp(jωt)
    D=D0*exp(j(ωt-φ))=D0*(ε'-ε")*exp(jωt)
    δD/δt=D0*(ε'-ε")*ωt*exp(jωt)

    W=∫dW
    =(1/T)*∫{x=0〜T}(E0*exp(jωt)*D0*(ε'-ε")*ωt*exp(jωt))dt
    =(1/T)*∫{x=0〜T}(E0*D0*exp(2jωt)*(ε'-ε")*ωt)dt
    =(1/T)*E0*D0*(ε'-ε")*ωt*∫{x=0〜T}(exp(2jωt))dt
    =…=0 ???
    という感じです。
    すみません、物理自体に対して初学者なので、根本的に間違っているかもしれません…

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/01/16 23:29
  • 考えれば正弦波を周期で積分したら0ですね…

    rms(実効値)はwikipediaで見ると少し理解できました.
    有効電力の平均値 P=R/2*I^2

    しかしこれは印加した電圧の仕事を表す指標で、電磁波が物質の分極により損失したエネルギーと関係がないように思えます。

    回答のNo.2のように
    D=εE=ε0(ε'-jε")E
    をうまく用いて、
    E=E0*exp(jωt)
    D=D0*exp(j(ωt-φ))
    この2式から
    W=∫dW=∫EdD=(1/2)ωε0ε"E0^2
    を導けないものでしょうか。
    このWは電界Eによる誘電体のDをdDだけ変化させたときの仕事量としておいていて、分極に使われたエネルギーしいては電磁波の損失エネルギーと考えています。

    D=εEからE0=D0を得ることで係数は何とかなりそうな気がするんですが、ε'が消える気がしないです。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/01/17 03:31
  • HAPPY

    複素数で表さなければできました!
    回答と少し違うのですが、
    E=E0*sin(ωt)
    D=D0*sin(ωt-φ)=D0*(ε'sinωt-ε"cosωt)
    δD/δt=D0*ω*(-ε'cosωt-ε"sinωt)

    E*(δD/δt)=D0*E0*ω*(1/2)*(-ε'*sin2ωt-ε"(1-cos2ωt))

    ∫E*(δD/δt)*dt=D0*E0*ω*(1/4)*[ε'*cos2ωt-ε"(2t-sin2ωt)]_{t=0〜T}=D0*E0*ω*(1/2)*T

    W=(1/T)*∫E*(δD/δt)*dt=D0*E0*ω*(1/2)=(1/2)*ω*ε0*ε"*E0^2

    おそらくこれで大丈夫だと思います!!
    お付き合いいただき、ありがとうございます!!
    間違っていたりしましたらまたご指摘くださればうれしいです!

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/01/17 18:32
gooドクター

A 回答 (4件)

E=E0*sin(ωt)


δD/δt=D0*(ε'-jε")*ω*cos(ωt)

∫E^2(δD/δt)^2*dt
=(1/T)*∫{t=0〜T}(E0*D0*(ε'-jε")*ω*(1/2)sin(2ωt))^2dt
=((E0*D0*(ε'-jε")*ω*(1/2))^2/T)*[1-cosωt]_{t=0〜T}
=(E0*D0*(ε'-jε")*ω*(1/2))^2
あとは、D0=ε0E0とするとか。
この回答への補足あり
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sin等を周期で積分したら0なのは当たり前。



δD/δt=D0*(ε'-jε")*jω*exp(jωt)

W=∫dW
=(4/T)*∫{t=0〜T/4}(E0*exp(jωt)*D0*(ε'-jε")*jω*exp(jωt))dt
=(4/T)*∫{t=0〜T/4}(E0*D0*exp(2jωt)*(ε'-jε")*jω)dt
=(4/T)*jω*E0*D0*(ε'-jε")*∫{t=0〜T/4}(exp(2jωt))dt
=(4/T)*jω*E0*D0*(ε'-jε")*[(1/2ω){sin(2ωt)-jcos(2ωt)}]_(t=0〜T/4)
=(2ω/π)*jω*E0*D0*(ε'-jε")(j/ω)
=-(2/π)*ω*E0*D0*(ε'-jε")

?????

じゃあrms(実効値)で計算ですかね。
この回答への補足あり
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質問文の場合は、


D=εE=ε0exp(-jφ)E=ε0(cosφ-jsinφ)E=ε0(ε'-jε")E
ってするのかな?
この回答への補足あり
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W=∫dW=∫EdD



ωt-φ=ωt'とおく

E=E0*exp(j(ωt'+φ))=exp(jφ)(E0/D0)D0*exp(jωt')
D=D0*exp(jωt')
∫EdD=exp(jφ)(E0/D0)*(1/2)D^2

?よくわからないので回路的にやります。

I=CdV/dt=εSdE/dt=jωεSE (V/d=E)
蓄えられるエネルギーは、
W=∫JdE=(1/2)jωεE^2
体積あたりに直してます。
このとき、jがつくということは、回路からエネルギーが切り離されないことを意味する。
ε=ε0(ε'-jε")とすると、
W=(1/2)jωε0(ε'-jε")E^2
=(1/2)jωε0ε'E^2+(1/2)ωε0ε"E^2

第二項は、実部であるから、仕事の定義から外部に逃げていくエネルギー、すなわちロスエネルギーとなる。
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