相対論的電磁気学

●ケース１

x軸方向に等速直線運動する1つの電荷ｑとその電荷に対する共動系Ｓと、Ｓに対して相対速度ｖで動く慣性系Ｋを考えます。

よくありがちなＫ系での電磁場を求める方法に下の２つの方法が考えられます。
１）共動系Ｓの電場をローレンツ変換する。（相対論を利用）
２）Liénard-Wiechert potentialを利用する。（Maxwell方程式のみ）

２）の方法は相対論を用いなくてもMaxwell電磁気学から得られます（実際、相対論が出来る前に考えられた方法）。そして１）と２）の結果は等しくなります。

●ケース２

一方、別な問題として、慣性系Ｌ系を考えます。Ｌ系にはz軸方向にのみ一様磁場（時間異存なしのB_z=B_0）がかかっているとします。Ｌ系に対してx軸方向に相対速度ｖで動く慣性系Ｍ系での電磁場を求める方法に以下の方法があります。
３）Ｌ系での磁場をローレンツ変換する。（相対論を利用）

そこで質問なのですが、
「相対論を利用せずに、Maxwell方程式を使ってＭ系での電磁場は求められないのでしょうか？」
ケース１で、相対論を利用せずに直接Ｋ系での結果を得られたことから、ケース２でもMaxwell方程式から直接Ｍ系での電磁場が得られないのか考えています。

ケース２においては一様磁場がｚ軸方向に一様磁場がかかっているのでM系からみるとx軸負の方向に一様磁場が動いている状況をMaxwell方程式を用いて解くのかと思います。（ｚ軸方向一様磁場で、ｘ軸負方向にうごいているので磁場はうごいていないのと一緒なのでしょうか・・・）

そもそも無理なのでしょうか、どなたかご教授お願いします。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2016/01/24 11:44

マクスウェルの式にガリレイ変換をすると、電磁場の変換式は近似的

なものになることは周知です。また、方程式の形も崩れます。

そこで、特殊相対性原理とマクスウェルの式を前提にすると、相対論
と同じ正確な電磁場の変換式とローレンツ変換が「同時」に得られます。

特殊相対性原理は特殊相対論固有の原理と断定しないならば、この
ような結論になります。これは多分、「特殊相対性原理」を取ると
光速不変がマクスウェルの式に含まれるためと思います。

なお、蛇足ではありますが、後者から得られた、ローレンツ変換と
単なる変換「式」であって、特殊相対論から得られたものとは意味
が全然違います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>特殊相対性原理」を取ると
>光速不変がマクスウェルの式に含まれるためと思います。

確かにそうですよね。Maxwell方程式中の光速を考えている慣性系に依っていちいちc'=c-vにしないですからね。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/24 14:20

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2016/01/23 22:51

Maxwell方程式を解いて電磁場を求めたいのであれば、電磁場の源についても考慮する必要があります。

L系での一様磁場を実現する源としては
・z軸に平行な半径aの無限長ソレノイド(の内部)
・z=±aの平面上にそれぞれN,Sの単磁荷が一様に分布している系(の内側)
のどちらかが比較的シンプルだろうと思います。(空間全体で一様な磁場を実現したいのならa→∞の極限をとります)

どちらのケースでもローレンツ変換した後にa→∞の極限をとる(もしくはソレノイドの内側、平行平板の内側だけを考える)事にすれば、K系での電磁場が正しく求まるはずです。前者のケースだと電荷(電流)の分布が時々　刻々と変化してしまいますので、後者の方が計算はしやすいでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
>Maxwell方程式を解いて電磁場を求めたいのであれば、電磁場の源についても考慮する必要があります

実は私も同じことを考えていました。

>L系での一様磁場を実現する源としては
>・z軸に平行な半径aの無限長ソレノイド(の内部)

実は私も同じことを考えていましたが、計算が複雑なので断念していました。

>・z=±aの平面上にそれぞれN,Sの単磁荷が一様に分布している系(の内側)

全く考え付きませんでした。計算してみようと思います。現時点で
ＢＡにしたいのですが、もう少し他の解答も確認させて頂きたいのでお待ちいただきたいです

お礼日時：2016/01/24 14:10