正規直交基底の求め方について

この写真の、大問3の（3）の解き方を教えてください。
（1）と（2）では、正規直交基底なので、行列同士の内積が0になることと、行列の大きさが1になることを利用して解いたのですが、（3）で同じように解くと、変数に対して式の数が少なく解けませんでした。
解き方が分かる方、どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

ちなみに答えは、転置行列の、（1/√2 0 1/√2）と（1/3√2 -4/3√2 -1/3√2）です。

質問者からの補足コメント

• 写真が見にくいかもしれないので、問題も入力します。
  3. 次の各場合に、与えられた正規直交系を含むR^3の正規直交基底を求めよ。
  (3)1/3(2 1 -2)
  
  行列は転置行列です。
  よろしくお願いします。

    補足日時：2016/01/31 16:17

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/31 17:33

与えられた世紀直交系が基底一本なら、残りの基底は一意には決めることはできないです。

でも決めることはできます。

自由度が1個余っているだけですから好きに決めればよいのです。

まず、(2 1 -2)　に垂直なベクトルを(1 0 1) とか (0 2 1) とかを
適当に選び、3本目は外積で計算すればよいです。もちろん正規化してください。

この回答へのお礼

説明ありがとうございました。
無事テストでも解けることができました！^ ^

お礼日時：2016/02/02 09:38

No.2 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/31 18:09

(a b c)と1/3(2 1 -2)tの内積をとり、0とおけば直交する。

tは転置を表す。

2a+b-2c=0
定数A、Cを用いて、a=A、c=Cとおくと
b=2(A+C)

続いて、もう一つの直交するベクトルを(d e f)tとおくと(A 2(A+C) C)との内積は
Ad+2e(A+C)+fC=0
A=-(f+2e)C/(d+2e)

従って、任意の与えられた1/3(2 1 -2)tに直交する基底ベクトル(d e f)tを選べばもう一つのベクトルはd、e、fを用いて決まる。
(定数A、Cにより方向が逆になる場合も表現できる)

この回答へのお礼

解けることができました。
丁寧な説明ありがとうございました！

お礼日時：2016/02/02 09:34