高校数学 三角関数

Cos２θをtanθを使って表すときの式変形を教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/13 00:55

No.1です。

こちらを先に見ずに、まずは No.1 のヒントでやってみること。頭と手に汗をかかないと、鍛えられません。

tanθ を使え、ということなので、cosθ ≠ 0 とします。

　cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)
= [ cos^2(θ) - sin^2(θ) ] / [ cos^2(θ) + sin^2(θ) ]　　←ちょっと技巧的。cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1 だから。
= [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]　　　←分母、分子を cos^2(θ) で割る。

技巧的な技を使わずに、地道にやるなら
　cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - sin^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - 2sin^2(θ)　　　　　　（１）
= cos^2(θ) - [ 1 - sin^2(θ) ]
= 2cos^2(θ) - 1　　　　　　（２）

（１）より
　　sin^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] /2
（２）より
　　cos^2(θ) = [ 1 + cos2θ ] /2

よって
　　sin^2(θ) / cos^2(θ) = tan^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] / [ 1 + cos2θ ]

これを cos2θ について解いて、
　　tan^2(θ) + tan^2(θ) * cos2θ = 1 - cos2θ
　　( tan^2(θ) + 1 ) * cos2θ = 1 - tan^2(θ)
∴　cos2θ = [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]

この回答へのお礼

ありがとうございました。分かりやすかったです！

お礼日時：2016/06/13 01:41

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/13 01:00

No.2です。

あら、後半の別解で、式の一部に間違いあり。

正しくは、

　cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)　　　（３）
= 1 - sin^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - 2sin^2(θ)　　　　　　（１）

また、（３）は次のようにも書けます。
　cos^2(θ) - sin^2(θ)
= cos^2(θ) - [ 1 - cos^2(θ) ] 　　　←この式が間違ってました。
= 2cos^2(θ) - 1　　　　　　（２）


（１）より
　　sin^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] /2
（２）より
　　cos^2(θ) = [ 1 + cos2θ ] /2

よって
　　sin^2(θ) / cos^2(θ) = tan^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] / [ 1 + cos2θ ]

これを cos2θ について解いて、
　　tan^2(θ) + tan^2(θ) * cos2θ = 1 - cos2θ
　　( tan^2(θ) + 1 ) * cos2θ = 1 - tan^2(θ)
∴　cos2θ = [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/13 00:25

cos2θ を、まず θ の式に直す。

その上で、tanθ = sinθ / cosθ であることを使う。

まずは、これでやってみて。