数学

2次関数f(x)=ax2乗-2x+a+1/2の最大値が-1となるような定数aの値は？

お願いします。

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/06/26 11:27

最大値ということは上に凸でなければならない

微分法
f(x) = 2ax² - 2x + a + 1/2
f'(x) = 2ax - 2
　2ax -2 = 0
　2ax = 2
　　x = 1/a　　極限値をとるときのx

f(x) = ax² - 2x + a + 1/2
-1 = a(1/a)² - 2(1/a) + a + 1/2
-1 = a(1/a²) - (2/a) + a + 1/2
-1 = a/a² - (2/a) + a + 1/2
-1 = 1/a - 2/a + a + 1/2
-1 = (-1/a) + a + 1/2
-a = -1 + a² + a/2
a² + (3/2)a - 1 = 0
(a - 1/2)(a + 2) = 0
　a = -2,1/2
上に凸より　a = -2
　　ちなみに、x=1/a より、x=-1/2
検算
f(x) = ax²　　 - 2x + a + 1/2
　　= -2x² - 2x - 3/2
f(-1/2) = -2(-1/2)² - 2(-1/2) - 3/2
　　　 = -1/2 + 1 - 3/2
　　　 = (-1 + 2 - 3)/2
　　　 = -2/2
　　　 = -1

平方完成
f(x) = ax² - 2x + a + 1/2
　　= a(x² - 2/a)x + a + 1/2
　　= a(x - 1/a)² + a - 1/a + 1/2
　　　￣￣￣￣￣
a - 1/a + 1/2 = -1
a² - 1 + a/2 = -a
(a - 1/2)(a + 2) = 0
以下同様

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/06/25 16:54

f(x)=ax^2-2x+a+1/2

=a{x^2-(2/a)x}+a+1/2
=a{(x-1/a)^2-1/a^2}+a+1/2
=a(x-1/a)^2-1/a+a+1/2
これが最大値-1をとるから
y=f(x)のgyラフは上に凸の放物線になる。
よって、a<0　かつ　-1/a+a+1/2=-1
が成り立てばよい。
-1/a+a+1/2=-1 より
-1/a+a+3/2=0
両辺に 2a をかけて
-2+2a^2+3a=0
2a^2+3a-2=0
(2a-1)(a+2)=0
a=1/2，-2
a<0 より
a=-2

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2016/06/25 16:32

f(x)=ax^2-2x+a+1/2

微分して極値がどこにあるか求める。
f’(x)=2ax-2
f’(x)はf(x)の接線の傾きを表すので、f’(x)=0の時、極地(この場合求める最大値)となる。
0=2ax-2
2=2ax
x=1/a
x=1/aの時、極地(この場合求める最大値)を取ることが判る。
即ち最大値の座標は(1/a,-1)

f(x)=ax^2-2x+a+1/2に(1/a,-1)の座標を代入

-1=a(1/a)^2-2･1/a+a+1/2
-1=1/a-1/a+a+1/2
-1=a+1/2
a=-1/2

a=-1/2の時最大値-1を取る。