宜しくお願いします

aは定数。次のｘについての不等式の解き方を教えてください。

　(1)ax2≦ax
(2)x2-(a2+a-2)x+a3-2a＜0

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/07/18 14:39

(1)　ax^2≦ax ･････ ①

ax^2-ax≦0
ax(x-1)≦0 ･････ ②

(i)　a<0 のとき　　（y=ax(x-1) とおくと、x軸と２点０，１で交わる上に凸の放物線になる）
② より
x≦0, 1≦x

(ii)　a=0 のとき　（y=ax(x-1) とおくと、y=0 となりxの値に関わらず常に０となる）
② は　0≦0 となり、これはxの値に関わらず常に正しい
よって、① はすべての実数xについて成り立つ

(iii)　a>0 のとき　　（y=ax(x-1) とおくと、x軸と２点０，１で交わる下に凸の放物線になる）
② より
0≦x≦1

(i)，(ii)，(iii) より
　　a<0 のとき　x≦0, 1≦x
｛　a=0 のとき　すべての実数
　　a>0 のとき　0≦x≦1


② から　y=ax(x-1) がｘ軸と２点０，１で交わることが分かり
aの値（符号）によって、上に凸の放物線になったり、下に凸の放物線になったり、直線になったりするので
それで場合分けをすればよい



(2)　x^2-(a^2+a-2)x+a^3-2a<0
x^2-(a^2+a-2)x+a(a^2-2)<0
(x-a){x-(a^2-2)}<0
(i)　a<a^2-2　つまり　a<-1, 2<a のとき　　（y=(x-a){x-(a^2-2)} とおくと、x軸と２点a，a^2-2で交わる下に凸の放物線）

a<x<a^2-2

(ii)　a=a^2-2　つまり　a=-1, 2 のとき　　（x軸と１点a(=a^2-2)で接する下に凸の放物線）
解なし

(iii)　a>a^2-2　つまり　-1<a<2 のとき　　（ y=(x-a){x-(a^2-2)} とおくと、x軸と２点a，a^2-2で交わる下に凸の放物線）

a^2-2<x<a

(i)，(ii)，(iii) より
　　a<-1, 2<a のとき　a<x<a^2-2
｛　a=-1, 2 のとき　解なし
　　-1<a<2 のとき　a^2-2<x<a


a<a^2-2 を解くと
a^2-a-2>0
(a-2)(a+1)>0
a<-1, 2<a

a=a^2-2 を解くと
a^2-a-2=0
(a-2)(a+1)=0
a=2, -1

a>a^2-2 を解くと
a^2-a-2<0
(a-2)(a+1)<0
-1<a<2


y=(x-a){x-(a^2-2)} とおくと、x軸と２点a，a^2-2で交わる（a=a^2-2のときは１点で接する）下に凸の放物線だから
a　と　a^2-2　の大小関係で場合分けをすればよい