数学です 積分についてです 上の式を積分すると下の形のように なると思ったのですが違いました 何故d

数学です
積分についてです
上の式を積分すると下の形のように
なると思ったのですが違いました
何故dy dxは一つずつなのでしょうか？

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/11/22 19:45

上の式が、何を意味しているのか、によります。

基本的には、dxとかdyとかいう記号は、df/dxみたいな微分の形か、∫f(x)dx みたいな積分の形でしか意味がない、
単体（むき出しの）のdxとかdyとかいう形で登場してはいけないわけです。

というわけで、単体のdxとかdyとかいう記号が表れている上の式は、何を表しているのか（どういう意味なのか）に、一般的な決まった解釈はありません。
なんで、質問文の上の式が何を意味しているのかを質問者自身が説明してくれないと、どう扱うのが正しいのか回答者には判断できません。

実際、dx、dyを一つづつにするのが必ず正しいわけではなくて、
例えば、δx、δyを変分と解釈すると、
δy/(y-1) = -δx/(x-1)
の両辺をxで積分して
∫δy*dx/(y-1) = ∫-δx*dx/(x-1)
みたいにするのが正解な場合もありえます。

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/11/22 23:42

かなり深刻な勘違いが長期間続いているようなので, あえて極端な言い方をします.

∫1/(y - 1)dydy = -∫1/(x - 1)dxdx は「問題外」と呼べるレベルの間違った数式ですが,
それ以前に, dy/(y - 1) = -dx/(x - 1) という数式も, 間違っていると思ってください.

教科書のどこかに dy/dx = -(y - 1)/(x - 1) という数式が出てきて,
それを dy/(y - 1) = -dx/(x - 1) と変形しているのだと思いますが,
基本がきちんと理解できるようになるまで, その変形は真似しないことです.
dy/dx = -(y - 1)/(x - 1) という数式があったら, y - 1 が 0 でないことを確認した上で,
[1/(y - 1)](dy/dx) = -1/(x - 1) と変形します.
左辺と右辺はどちらも x の関数であり, それらの不定積分も等しいので,
∫[1/(y - 1)](dy/dx)dx = ∫(-1)/(x - 1)dx となります.
ここで, 左辺は ∫1/(y - 1)dy と変形できますが, dx どうしで約分したのではありません.
そう変形できる正しい理由は, 教科書に書いてあると思うので, そこを読んでください.

No.3 回答者： tak04 回答日時： 2016/11/24 17:58

dy/y-1=dx/x-1と下の式は恒等式でない。

この式の両辺に∫をつけるのは問題ない。両辺にdyあるいはdxをかけるのは問題ない。