No.5ベストアンサー
- 回答日時:
この問題は、両方とも、大学受験(高校数学)での基本的な定石を使うものですね。
(大学の範囲ではありません)(1) 被積分関数が、f'(x)/f(x)の形(又はその定数倍)になっているときは、log|f(x)|の微分がf'(x)/f(x)になることを使う。
(2) 被積分関数が、1/(a^2 + x^2)の形(又はその定数倍)になっているときは、t=a tan(x)と置いて置換積分を使う。
このやり方は、当然覚えておくべきものです。
No.4
- 回答日時:
(1) は高校生の問題だけど (2) は違いますよね。
(1) は 微分で習った y=log[1+x^2] をxで微分したy'=2x/(1+x^2) の右辺が 積分の 被積分関数と同じだから、
∫[0→1](x/(1+x^2))dx=(1/2)∫[0→1](2x/(1+x^2))dx=(1/2)[log[1+x^2]][0→1]=(1/2)log[2]
(2)は大学じゃ公式です。 x=tan(t) と置くと dx/dt=1/(cos(t))^2=1+(tan(t))^2=1+x^2
∫(1/(1+x^2))dx)=∫(1/[1+(tan(t))^2)]・[1+(tan(t))^2]dt=∫dt=t+C (Cは積分定数)
t=arctan(x) x:0→1ならt:0→π/4だから
∴ ∫[0→1](2x/(1+x^2))dx=∫[0→π/4]dt=t[0→π/4]=π/4
No.2
- 回答日時:
∫[0→1](x/(1+x^2)dx
部分積分法を使う。
∫f(x)dx=∫f(f(Ψ(t))Ψ´(t)dt
1+x^2=t
x=√(t-1)
dx/dt=1/2x(t-1)^(-1/2)
∫f(X)dx=√(t-1)x(t-1)^(-1/2)/(2t)
=1/(2t)
∫[0→1]f(x)dx=[0→1]1/(2(1+x^2)=1/2+1/4
=3/4
∫1/(1+x^2)dx
上記と同様に
dx/dt=1/2x(t-1)^(-1/2)
∫f(x)dx=1/(2t√(t-1))=1/(2(1+x^2)・x)
∫[0→1]f(x)dx=∞
No.1
- 回答日時:
分母の判別式がD>0の時は、部分分数分解をして解きます。
D<0ならば時は、tanθで置換します。
(1)
x=tanθとおくと
dx=1/cos^2×dθ
θ[0→π/4]
x/(1+x^2)dx=x/(1+tan^2θ)×1/cos^2θ×dθ
=x×cos^2θ/cos^2θ
=tanθ
=sinθ/cosθ
=(-cosθ)'/cosθ
与式=[-log|cosθ|](0→π/4]
(2)も同様に。
ミスってましたらすみません。
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