No.1
- 回答日時:
この問題
x-a<x^2<-2x+8
は次の二つの不等式の連立不等式になることは分かると思います
x-a<x^2
x^2<-2x+8
下の式の解は分かると思うので( -4<x<2 です)
上の方に焦点をしぼって説明したいと思います
まず右辺から左辺を引きますと次のようになります
x^2-x+a>0
次に
x^2-x+a=0
という問題を考え、解の公式を用いてこの解を求めると
1±√(1-4a)
x=-------------=α、β
2
となります。説明の簡略化のため、小さいほうの解をα、大きいほうの解をβとさせてもらいます。連立不等式は高校の範囲なので解の公式は習ってますよね?
よってルートの中身は正でないといけないので必然的にa>1/4 の時は解なしと分かります
次にa≦1/4の時を考えますと、連立不等式の下の条件式の答えは
α<x<β
となります
あとは連立不等式の上の条件式の答え(-4<x<2)と組み合わせますと、aの値によって解は次のようになります
a < -1/2のとき
-4 < x < 2
-1/2 < a < (1-√3)/4のとき
α < x < 2
(1-√3)/4 < a ≦1/4のとき
α < x < β
a>1/4 のとき
解なし
後半分かりにくかったかも知れませんが
実際に絵を書いてみると分かり易いですよ
この回答へのお礼
お礼日時:2004/08/13 21:48
丁寧な解説、有難うございます!
一つ分からない点がおるんですが、
√内を正にする為にa≦1/4と考え条件式は「α<x<β」とありますが、連立不等式x^2-x+a>0より、「x<α,x>β(α<βの時)」とは違うんですか?けどそうなると答えが絞れなくなるような・・・すみません、理解力なくて><
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x-a<x^2<-2x+8
は2つの不等式が連立しています.
x^2<-2x+8
の方の解は -4<x<2 はすぐわかります.
問題は
x-a<x^2
の方.
つまり x^2-x+a>0 の解を求めることになる.
不等式の解はある程度はパターン化できますが,パターンに頼ると手も足も出ないでしょう.
基本に立ち返って,グラフで考えなければなりません.
グラフが面倒では,不等式の解法の本質は理解できません.
y=x^2-x+a と x軸との共有点がないのは
1-4a<0,つまり a>1/4 のときで
このとき放物線は x 軸の上方.
不等式 x^2-x+a>0 の解は「すべての実数.」
つまり問題の不等式の解は,-4<x<2.
y=x^2-x+a と x軸との共有点がある場合,
つまり判別式
(-1)^2-4×1×a=1-4a≧0のときx軸と曲線の共有点は
(1+√(1-4a))/2,(1-√(1-4a))/2
となります.
a=1/4 のとき,曲線と x軸は接して.接点は
x=1/2 のとき.
つまり,x^2-x+a>0 の解は
1/2 以外の実数全体だから
問題の不等式の解は
-4<x<1/2, 1/2<x<2
aがどんどん小さくなると,放物線は下に下がってきます.
a>-2 まではこの放物線とx軸との共有点はもうひとつの不等式の解
-4<x<2
に含まれるので,-2<a<1/4 のとき解は
-4<x<(1-√(1-4a))/2,(1+√(1-4a))/2<x<2
a≦-2 となると,
右側の交点 (1+√(1-4a))/2 が 2 を超えてしまうので,a>-20 までは解は
-4<x<(1-√(1-4a))/2
だけである.
さらに
a≦-20 ではさらに左側の交点が -4 の左に行ってしまうので,「解なし」
とうことで a は
1/4,-2,-20
の3箇所で区切って場合分けをして解を求めることになります.
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