数列 和と一般項の関係について

数列{an}の初項から第n項までの和をSnとすると、
n≧2のとき
an=Sn➖Sn-1 が成り立つのは分かるんですが、
an=Sn+1 ➖Sn は何故ダメなんでしょうか
わかりやすくよろしくお願いしますm(_ _)m

A 回答 (1件)

「n」の意味を考えましょう。


S(n+1)-S(n)=a(n+1)であり、a(n)ではありません。
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この回答へのお礼

わかりました!!
ありがとうございます(^^)

お礼日時:2017/04/16 19:22

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Aベストアンサー

初項をA、公差をBとすると
A+(A+B)+(A+2B)=45→3(A+B)=45
(A+5B)+(A+6B)+(A+7B)+(A+8B)+(A+9B)=195→5(A+7B)=195
よって
A+B=15
A+7B=39
より
A=11,B=4となるので
an=11+4(n-1)=7+4n

初項をA、公比をBとすると
A+AB+AB^2=7→A(1+B+B^2)=7
AB^3+AB^4+AB^5=56→AB^3(1+B+B^2)=56
よって
B^3=8より
B=2,A=1
よって
an=2^(n-1)

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CやAに具体的に何か入れてみないと分かりにくいですね。
A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9…)
An=n
にn=3kを代入して
Cn=A3k=3k
C=(3,6,9,12,15,18,21,24,27…)
(A3kはAから3の倍数の項のみ取り出したもの)
Cn=3k
(CnはAから3の倍数の項のみ取り出したもののn番目の項)
これは最初のAn=nとは別のものですね。

同じnを使って説明するとややこしいのでやめた方がいいと思います。
Cn=3kで
n=3kでしたが、
Cn≠nです。

An=n
Ci=A3k=3k
であれば
A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9…)
C=(3,6,9,12,15,18,21,24,27…)
と分かります。

省略してますがkは自然数です。

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二項定理を用いて次の事を証明せよ。ただしn≧2でnは整数とする。

(1+1/n)^>2 の証明の仕方がよくわかりません。

(a+d)^にa=1、b=1/n入れる事はわかるんですが

それ以降さっぱりです。

どうして下の写真のようのなるのですか?

Aベストアンサー

2項定理を (a + b)^n に適用すると
  (a + b)^n = Σa^ib^(n - i) nCi
= a^0b^n +n a^1b^(n - 1) + .... + n a^(n - 1)b^1 + a^nb^0
     = a^nb^0 + n a^(n - 1)b^1 + .... + n a^1b^(n - 1) + a^0b^n
となります(Σ は、i = 0 から n まで)。ここで、
  a = 1,  b = 1/n
として、
  (1 + 1/n)^n = 1^n (1/n)^0 + n 1^(n - 1)(1/n)^1 + .... + 1^0 (1/n)^n
     = 1 + 1 + .... > 2
が得られます(1^i = 1 で、(1/n)^j については、j = 0, 1 の場合だけ計算します)。
2項だけ残して残りの項(> 0)は省略していますから、不等号が成立します。

おそらく、あなたが出来なかったのは、組み合わせの数の計算と階乗の計算、すなわち、
  nCi = i!(n - i)!/(n!)
  k! = 1 2 3 ... (k - 1)k
の計算ではないかと思います。実際に計算するのは、i = 0, 1 の場合だけですが。

写真の説明は、常識的には十分な説明になっていると思います。それが分からないとなると、上に書いた計算が分からないということなのかなと思います。きちんと定義を覚えておきましょう。

2項定理を (a + b)^n に適用すると
  (a + b)^n = Σa^ib^(n - i) nCi
= a^0b^n +n a^1b^(n - 1) + .... + n a^(n - 1)b^1 + a^nb^0
     = a^nb^0 + n a^(n - 1)b^1 + .... + n a^1b^(n - 1) + a^0b^n
となります(Σ は、i = 0 から n まで)。ここで、
  a = 1,  b = 1/n
として、
  (1 + 1/n)^n = 1^n (1/n)^0 + n 1^(n - 1)(1/n)^1 + .... + 1^0 (1/n)^n
     = 1 + 1 + .... > 2
が得られます(1^i = 1 で、(1/n)^j については、j = 0, 1 の場合だけ計算します)。
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(1)b[n]=a[n]+4n+2とおく。b[n+1]をb[n]を用いて表しなさい。
(2)a[n]を求めなさい。

Aベストアンサー

b[n]=1/a[n]
b[n+1]=1/a[n+1]=(2a[n]+3)/a[n]=(2a[n]+3)b[n]=(2/b[n]+3)b[n]

a[n]=1/(2*3^(n-1)-1)


b[n+1]=a[n+1]+4(n+1)+2=3a[n]+8n+4n+6=3a[n]+12n+6=3(a[n]+4n+2)=3b[n]

a[n]=3^(n-1)+8*((3^(n-1)-1)*3/4-(n-1)/2)
=3^(n-1)+2(3^n-3)-4(n-1)
=2*3^n+3^(n-1)-4n-2
=3^(n-1)*(6+1)-4n-2
=7*3^(n-1)-4n-2


※以下は②(2)の算出時に用いたメモです。
試行錯誤の結果求めたにすぎないので、他にすんなり解ける方法があるかもしれません。

a[1]=1
1+8*0
3^0+8*(0+0)
b[1]=1+4+2=7
a[2]=3+8=11
3+8*1
3^1+8*(0+1)
b[2]=21
a[3]=33+16=49
9+8*5
3^2+8*(3+2)
b[3]=63
a[4]=147+24=171
27+8*18
3^3+8*(15+3)
b[4]=189
a[5]=513+32=545
81+8*58
3^4+8*(54+4)
b[5]=567
a[6]=1635+40=1675
243+8*179
3^5+8*(174+5)

1
1*3+8*1
1*3*3+8*1*3+8*2
1*3*3*3+8*1*3*3+8*2*3+8*3
1*3*3*3*3+8*1*3*3*3+8*2*3*3+8*3*3+8*4

3^(n-1)+8*
0,1,3+2,9+6+3,27+18+9+4,81+54+27+12+5
0,0+1,3+2,3(3+2)+3,3(3(3+2)+3)+4,3(3(3(3+2)+3)+4)+5
179=5+4*3+3*3*3+2*3*3*3+1*3*3*3*3
S=1*3^(n-1)+2*3^(n-2)+3*3^(n-3)+…n*3^(n-n)
(1/3)S=1*3^(n-2)+2*3^(n-3)+3*3^(n-4)+…(n-1)*3^(0)+n*3^(-1)
(1-1/3)S=1*3^(n-1)+(2-1)*3^(n-2)+(3-2)*3^(n-3)+…+(n-(n-1))*3^(0)+n*3^(-1)
=3^(n-1)+3^(n-2)+3^(n-3)+3^(n-4)+…+3^(0)+n*3^(-1)
=Σ3^(n-k)(k=1~n)-n/3
=3^(n-1)*(1-1/3^n)/(1-1/3)-n/3
=3^(n-1)*(1-1/3^n))*(3/2)-n/3
=3^n*(1-1/3^n)/2-n/3
=(3^n-1)/2-n/3
=(2/3)S
S=(3^n-1)*3/4-n/2

b[n]=1/a[n]
b[n+1]=1/a[n+1]=(2a[n]+3)/a[n]=(2a[n]+3)b[n]=(2/b[n]+3)b[n]

a[n]=1/(2*3^(n-1)-1)


b[n+1]=a[n+1]+4(n+1)+2=3a[n]+8n+4n+6=3a[n]+12n+6=3(a[n]+4n+2)=3b[n]

a[n]=3^(n-1)+8*((3^(n-1)-1)*3/4-(n-1)/2)
=3^(n-1)+2(3^n-3)-4(n-1)
=2*3^n+3^(n-1)-4n-2
=3^(n-1)*(6+1)-4n-2
=7*3^(n-1)-4n-2


※以下は②(2)の算出時に用いたメモです。
試行錯誤の結果求めたにすぎないので、他にすんなり解ける方法があるかもしれません。

a[1]=1
1+8*0
3^0+8*(0+0)
b[1]=1+4+2=7
a[2]=3+8=11
3+8*1
3^1+8*(0+1)
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