曲線 y＝-9x^2 ＋ 5 （-2/3 < x < 1 ）と、直線y＝m（x＋1）とが共有点をもつ

曲線 y＝-9x^2 ＋ 5 （-2/3 < x < 1 ）と、直線y＝m（x＋1）とが共有点をもつような定数mの値を求めなさい。

<のところは、小なりイコールです。
もしできる方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

No.1 回答者： パリラ 回答日時： 2017/04/27 22:50

彼からのメールは待ってた方がいいのでしょうか？

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/28 12:37

曲線 y=ー9x^2 +5 (ー2/3≦x≦1) …(1)

直線 y=m(x+1) …(2)

一般には、(1)ー(2)=0 で判別式でしょうが 大変そうなので、ここでは、
x+1=X とおくと、(1)の範囲は、
1ー2/3≦x+1≦1+1 ∴ 1/3≦X≦2 …(3)

曲線(1)は、y=ー9(Xー1)^2 +5 =f(X)とおく …(4)
直線(2)は、y=mX …(5)
となるから
f(1/3)=ー9(1/3 ー1)^2 +5=1
f(1)=5
f(2)=ー9・1^2 +5=ー4 より
この曲線(1)は、頂点(1,5) で、max
(2,ー4)で、min
である 上向きの連続した曲線なので、
原点からこれらの点までの傾きより、mの範囲は、
(ー4/2)≦m≦(5/1) ∴ ー2≦m≦5

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/28 13:31

補足として、X=x+1 とおいたことで、x=ー1のとき X=0 であるから、y=mXのXy座標における原点(0,0)は、前のxy座標の(ー1,0)に相当します。

また、新しいXy座標において、
新しい原点(0,0)から、曲線(4)を微分すると、y'=ー9・2(Xー1) つまりX=1 において接するので、答えとして適する。尚 今回は、x+1=Xとしたが、
y=m(x+1)=mx+m より yーm=mx ,Y=yーm とおくこともできるでしょう！
元のxy座標で、この曲線を描いて検証すれば、理解できるでしょう！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/28 13:37

すみません！理論的には、xY座標でも可能ですが、mが変数なので、今回はxY座標は、無理ですね！

No.5 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/04/28 15:31

グラフをかいて考えます。

曲線 y=-9x^2+5 ･････ ① は頂点の座標が(0, 5) の上に凸の放物線です。

x の範囲があるので、
x=-2/3 のとき　y=-4+5=1
x=1 のとき　y=-9+5=-4

直線 y=m(x+1) ･････ ② は、mの値に関わらず、定点(-1, 0) を通る直線です。

求めるｍの範囲は、直線②が図の（ア）から（イ）の間にあるとき。

ｍの最小値は、直線②が点(1, -4) を通るときだから
-4=m(1+1)
2m=-4
m=-2

ｍの最大値は、曲線①と直線②が接するときだから、①、②より
-9x^2+5=m(x+1)
9x^2+mx+m-5=0 ･････ ③
の判別式をDとすると、D=0
D=m^2-4･9･(m-5)=0
m^2-36m+180=0
(m-6)(m-30)=0
m=6, 30

m=6 のとき　③に代入して
9x^2+6x+1=0
(3x+1)^2=0
x=-1/3
これは、曲線①と直線②の接点のｘ座標が -2/3≦ｘ≦1 の範囲にあるので適する。

ｍ=30 のとき　③に代入して
9x^2+30x+25=0
(3x+5)^2=0
x=-5/3
これは、曲線①と直線②の接点のｘ座標が -2/3≦ｘ≦1 の範囲にないので適さない。

したがって、求めるｍの値の範囲は
-2≦ｍ≦6

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/28 18:22

新しい原点(0,0)から曲線(4)を微分すると、y'=ー9・2(Xー1) …(6)

ここまではあっていますが、
つまり、X=1において接するので答えとして適
が、間違い！ 正しくは、
y=ー9(Xー1)^2 +5 …(4)
と y=mX と接する直線との交点を、(a、ー9(aー1)^2 +5) とすると (6)より
yー｛ー9(aー1)^2 +5 ｝=ー9・2(aー1)(Xーa)
この接線が、新しい原点(0,0)を通るから、
9(aー1)^2 ー5=ー18(aー1)(ーa)
9(a^2ー2a+1)ー5 =18a^2ー18a
∴ 9a^2 ー4=(3a)^2ー2^2=(3a+2)(3aー2)=0
a＞0なので、 ∴ a=2/3 その時の yは、
ー9(2/3 ー1)^2 +5=ー1+5=4
よって
傾き=4/(2/3)=12/2=6 なので、ー2≦m≦6

No.7 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/28 23:42

直線の式から、(-1,0)を必ず通る事が分かる。

曲線はxの範囲が限定された、(0,5)を頂点とする、上に凸の放物線である。
x=-2/3の時y=1→x=0の時y=5→x=1の時y=-4と変化する。

mが小さくなるほど傾きは下方向に急になるので、
(-1,0)より右下に位置する曲線を考え、
共有点を持つ最小のmは、直線が(1,-4)を通る時と分かる。
-4=m(1+1)
よってmの最小値は-2である。

mが最大となるのは、直線が曲線と接する場合か、
接する場合がないのであれば、直線が(-2/3,1)を通る時と分かる。
接する場合があるとして、微分により接線の傾きを求める。
y'=-18x
接点を(X,Y)とすると、
Y=-9X^2+5
(X,-9X^2+5)と(-1,0)の傾きを求めると、
(-9X^2+5)/(X+1)=-18X
-9X^2+5=-18X^2-18X
9X^2+18X+5=0
9(X+5/3)(X+1/3)=0
曲線でのxの変域内で該当するのはX=-1/3のみ。
この時の傾き＝-18X=6=m
よってmの最大値は6である。

これらの結果より、
-2≦m≦6
が求めるmの範囲である。