物理学入門のレポート問題ですが、⑴について速度ベクトルv(t)は物体の位置r(t)を微分し、加速度ベ

物理学入門のレポート問題ですが、⑴について速度ベクトルv(t)は物体の位置r(t)を微分し、加速度ベクトルa(t)は速度ベクトルv(t)を微分することで求められるというのは分かるのですが、位置r(t)の求め方がよく分かりません。範囲ごとに分けて求めればいいのでしょうか？解答もしくは解説をお願いします。問題文は写真にあります。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 画像が荒くて見ずらいですね。
  問題文です。
  右の図の曲線│-a, x/a≦-π
  y＝ │a cos(x/a), -π≦x/a≦π
  │-a, π≦x/a
  に沿って運動する物体を考える。この物体の速度のx成分が一定の値vであったとする。物体は時刻t＝0に点(x(0),y(0))＝(0,a)を通過したとする。
  ⑴時刻tが -π/v≦t≦π/v での、
  物体の位置 r(t)＝x(t)ex+y(t)ey
  速度ベクトルv(t)＝vx(t)ex+vy(t)ey
  加速度ベクトルa(t)＝ax(t)ex+ay(t)ey
  を求めよ。
  ※e,v,aのあとのx,yは添字
  
  ⑶物体に最も大きい加速度が加わる点とそこでの加速度の大きさ、および、物体の速度が最も速くなる点とそこでの速度の大きさを求めよ。

    補足日時：2017/07/09 02:02

• ⑶の問題は大丈夫です！
  ⑴だけお願いします

    補足日時：2017/07/09 02:07

No.1 ベストアンサー 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/09 11:31

ex,eyは単位ベクトルですよね。

まあ、そうであるとしてやります。
はい、tで微分しまくればいいのです。
aに関して場合分けがいります。
最初にa≠0ですね。
a=0だとyが定義できなくなっちゃう。
題意より
x軸方向は速度一定(v)なので
-π/v≦t≦π/vであり、x(t)=vt
よって、-π≦x≦π
よって、-π/a≦x/a≦π/a(a＞0のとき)
π/a≦x/a≦-π/a(a＜0のとき)
じゃあまずは
a≦-1,1≦aのとき、
x/aの絶対値はπ以下だから
y=acos(x/a)だけ考えればいい。
この時、
r(t)t=vtex+acos(vt/a)ey
微分して、v(t)=vex-vsin(vt/a)ey
微分して、a(t)=(-v＾2/a)cos(vt/a)ey
こんなもんで、
-1≦a≦1(ただし、a≠0)
のとき、
x/aの絶対値がπ以下のとき
さっきとまったく同じで、
x/aの絶対値がπ以上のとき、
x(t)=vt,y(t)=-a
よって、r(t)=vtex+-aey
微分して、v(t)=vex
微分して、a(t)=0
こんなもんですかね。
最後にこれらをまとめるといいですよ。
間違いがあれば、すいません。
勉強頑張ってくださいね。

この回答へのお礼

なるほど！非常に分かりやすくスッキリしました！本当にありがとうございます！続き頑張ります！

お礼日時：2017/07/09 15:44

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/09 11:49

範囲毎に分けて問題無いです。

t≦-a/v、-a/v≦t≦a/v、a/v≦t

で分けましょう。

この回答へのお礼

わかりました！助かります
ありがとうございます！

お礼日時：2017/07/09 15:45

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/09 12:48

最初の「物体の位置　r(t)」をどう表わしてよいか分からない、ということですか？

これはまさしく「グラフ」のとおり、ということです。

ただし、「速度、加速度は、物体の位置r(t)を微分し」ということは「時間 t で微分し」ということなので、ｔの関数として表わすことが必要です。

まず、「この物体の速度のx成分が一定の値vであったとする」ですから
　x(t) = v*t　　　①
ですね。

「⑴時刻tが -π/v≦t≦π/v での」ですから、①より、その x の範囲は
　　 -π ≦ v*t ≦ π →　-π ≦ x ≦ π　　②
です。

一方、x に対する y は
　　y ＝ a*cos(x/a), -π≦x/a≦π　　③
で、a>0 とみなしても一般性を失わないようなので、以下 a>0 とします。従って、
　　-a*π ≦ x ≦ a*π　　④

グラフに書かれた y がどのような値をとるかは、②と④の範囲の大小によって変わります。これを場合分けしましょう。

(１）a≧1 のとき
　 -a*π ≦ -π ≦ x ≦ π ≦ a*π
なので、
　　y ＝ a*cos(x/a)、-π ≦ x ≦ π

(２）0<a<1 のとき
　 -π < -a*π ≦ x ≦ a*π < π
なので、
　　-π < x < -a*π のとき y=-a
　　-a*π ≦ x ≦ a*π のとき　y ＝ a*cos(x/a)
　　a*π < x < π のとき y=-a

以上から、
(１）a≧1 のとき、 -π/v≦t≦π/v の全範囲に対して
　　r(t) = v*t * ex + a*cos(v*t/a) * ey

(２）0<a<1 のとき、 -π/v≦t≦π/v に対して
　　-π/v < t < -a*π/v のとき r(t) =v*t * ex - a * ey
　　-a*π/v ≦ t ≦ a*π/v のとき　 r(t) = v*t * ex + a*cos(v*t/a) * ey
　　a*π/v < t < π/v のとき r(t) = v*t * ex - a * ey

これで 「物体の位置　r(t)」が、定義された t の範囲でどう表わされるかが分かりました。
あとはよろしいのですよね？

この回答へのお礼

詳しい解説本当に助かります
はい！大丈夫です！続きは自分で頑張ってみます！
ありがとうございました！

お礼日時：2017/07/09 15:47