デカルト座標と極座標の座標成分

すみません。困っています。教えてください。

座標 x, y は r, ϕ によって
　x = r cos ϕ, y = r sinϕ
　r = x^2 + y^2, tan ϕ = y/x
と表せる。

　ここまではわかります。

単位ベクトルのあいだには次の関係式（＊）が成り立つ：
　e_r = cosϕ・e_x + sin ϕ・e_y, e_x = cos ϕ・e_r − sin ϕ・e_ϕ
　e_ϕ = −sinϕ・e_x + cos ϕ・e_y, e_y = sin ϕ・e_r + cos ϕ・e_ϕ

ベクトル A の平面極座標成分 Ar, Aϕ と直交座標成分 Ax, Ay の間には （＊）と 全く同じ関係式が成り立つ。

　この部分なのですが、たとえば、直交座標成分が (1, √3) のベクトルの平面極座標成分は (2, π/3) になると思うのですが、
　この π/3 は上の式でどう表されるのでしょうか？うまくいかなくて困っています。

質問者からの補足コメント

• 直交座標成分が (1, √3) のベクトルの平面極座標成分は (2, π/3) になることがわからないのではありません。
  （＊）に上の値を代入しても成り立たない気がするのです。
  ２つの座標表示の変換式が（＊）になる（と言っているのだと思うのですが）ことがよくわからなくて困っています。

    補足日時：2017/07/27 05:29

No.3 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/07/27 11:09

(＊)の式は座標変換か回転の式にみえる、ということですよね？

r(x,y) = √(x^2 + y^2), φ(x,y) = arctan(y/x)

x(r,θ) = r・cosθ, y(r,θ) = r・sinθ

と考えるのが良いような気がします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/25 14:50

直交座標成分が (1, √3) のベクトルの平面極座標成分は、単純に

　x = r*cos(ϕ), y = r*sin(ϕ)
より
　r = √(x^2 + y^2) = 2
　tan(ϕ) = √3 より ϕ= π/3
です。

（＊）式を使えば、→A = (1, √3) なので

　→A = Ax*e_x + Ay*e_y = e_x + √3*e_y

ということです。これは √(Ax^2 + Ay^2) = 2 より

　→A = 2 * [ (1/2)e_x + (√3 /2)*e_y ]
　　　= 2 * [ cos(π/3) * e_x + sin(π/3)*e_y ]
　　　= 2 * e_r(@ϕ=π/3)　　　←（＊）の最初の式より

ということになりますよ。

この回答へのお礼

すみません。元のページを貼り忘れました。
　http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/G …
の３ページの最後の部分です。

たぶん自分の頭がこんがらがっているんだろうとは思うのですが…、
「ベクトル A の平面極座標成分 Ar, Aϕ と直交座標成分 Ax, Ay の間には （＊）と 全く同じ関係式が成り立つ」というのは、
　A_r = cosϕ・A_x + sin ϕ・A_y, A_x = cos ϕ・A_r − sin ϕ・A_ϕ
　A_ϕ = −sinϕ・A_x + cos ϕ・A_y, A_y = sin ϕ・A_r + cos ϕ・A_ϕ
が成り立つという意味ではないんでしょうか？これだと、各値を代入しても成り立ちようがない気がするんです…。

お礼日時：2017/07/26 20:39

No.1 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/07/24 23:26

φ = π/3, cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = (√3)/2 でうまくいかないのですか？

この回答へのお礼

すみません。元のページを貼り忘れました。
　http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/G …
の３ページの最後の部分です。

たぶん自分の頭がこんがらがっているんだろうとは思うのですが…、
「ベクトル A の平面極座標成分 Ar, Aϕ と直交座標成分 Ax, Ay の間には （＊）と 全く同じ関係式が成り立つ」というのは、
　A_r = cosϕ・A_x + sin ϕ・A_y, A_x = cos ϕ・A_r − sin ϕ・A_ϕ
　A_ϕ = −sinϕ・A_x + cos ϕ・A_y, A_y = sin ϕ・A_r + cos ϕ・A_ϕ
が成り立つという意味ではないんでしょうか？これだと、各値を代入しても成り立ちようがない気がするんです…。

お礼日時：2017/07/27 05:29