座標系について

座標系には以下の4種類があると考えて間違いありませんか。

１．直交直線座標系　→　デカルト座標のことで、直交するので共変成分と反変成分は同じ。
２．直交曲線座標系　→　球座標、円筒座標などで、直交するので共変成分と反変成分は同じ。
３．斜交直線座標系　→　ミンコフスキー空間座標などで、斜交するので共変成分と反変成分は異なる。
４．斜交曲線座標系　→　一般相対性理論が扱う座標で、斜交するので共変成分と反変成分は異なる。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2017/08/29 23:43

言葉の定義次第ですが、

計量テンソルの非対角成分が全てゼロである事を直交、そうでない場合を斜交
計量テンソルが位置に依らず一定であることを直線、そうでない場合を曲線
というのであれば、必然的にその４つに分類されることになります

上記の意味で直交・斜交、直線・曲線という言葉を使っているのであれば、
共変成分と反変成分が一致するには計量テンソルの対角成分が全て１である事も要求されるので、直交/斜交というだけでは決まりません。(直交直線座標系である事は必要条件ではありますが)
ミンコフスキー時空で通常使う座標系は、直交直線座標系です。
一般相対論で扱う座標系の全てが斜交曲線座標系という訳ではないし、斜交座標系を登場させられる理論が一般相対論に限るという訳でもありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
非常に興味深い回答頂きました。

＞計量テンソルが位置に依らず一定であることを直線、そうでない場合を曲線

計量テンソルが位置に依らず一定であることを直線、位置に依存して変化する場合を曲線という。
数学的にはこれでよいのではありませんか。


＞共変成分と反変成分が一致するには計量テンソルの対角成分が全て１である事も要求されるので、直交/斜交というだけでは決まりません。(直交直線座標系である事は必要条件ではありますが)

直交しているが共変成分と反変成分は異なる（計量テンソルが対角行列）座標系とはどんな座標系のことですか。

計量テンソルによって座標系を分類するという考えのもとに、とりあえず形式的に分類してみました。

１）計量テンソルが位置に依らず一定の単位行列となる座標系　　→　直線直交座標
２）計量テンソルが位置に依らず一定の対角行列となる座標系　　→　？
３）計量テンソルが位置に依らず一定の対称行列となる座標系　　→　？
４）計量テンソルが位置に依らず一定の行列となる座標系　　　　→　？
５）計量テンソルが位置に依存して変化する対角行列となる座標　→　？
６）計量テンソルが位置に依存して変化する対称行列となる座標　→　？
７）計量テンソルが位置に依存して変化する行列となる座標　　　→　一般相対論で扱う一般の曲線座標系

1）～4）は直線座標系、5）～6）は曲線座標系でよいですか。
2）～7）の？箇所には、何か座標系の名称がありますか。

お礼日時：2017/08/30 06:38

No.2 回答者： alwen25 回答日時： 2017/08/30 23:15

楕円座標もあります。

これは、量子力学や量子化学で使います。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2017/08/31 04:20

>直交しているが共変成分と反変成分は異なる（計量テンソルが対角行列）座標系とはどんな座標系のことですか。

デカルト座標系以外の全ての座標系です。


#1に書いた定義に従うのであれば、1,2番が直交直線座標系になります。
ただ、わざわざ２番の座標系を用いるならふつうは適当に変数変換して１番の座標系を用いるので、１番の意味で直交直線座標系と言う事もあるとはおもいます。

普通の文脈では計量テンソルはいつも対称行列ですので、4),7)のケースはありません。

他は#1に書いた通りです。