同値変形について（微積分含む）

∃x[x+logx-log(x^2+4)=logt ∧ 0<x≦２]
を同値変形したいのですが、
∃x[x+logx-log(x^2+4)=logt ∧ 1+(1/x)-{2x/(x^2+4)}=0 ∧ 0<x≦２]
としても良いのでしょうか？
一般に
f(x)=g(x)⇔f(x)=g(x) ∧ f'(x)=g'(x)
は成り立つのでしょうか？
このように微積分をして関数を解析してとく問題での同値変形がとても気になります。
ですから、この点以外も含めた本質的な回答をお願いします。

(ちなみにlogは自然対数、f(x)はxについての関数、f'(x)はその導関数です。)

質問者からの補足コメント

• tは正の実数で構いません。

    補足日時：2017/09/16 16:27

• どなたか最初のtについての述語を解いてくださいませんか？ tの取り得る範囲になるはずです。

    補足日時：2017/09/17 09:02

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/09/16 17:24

あなたの言っている趣旨（意図）が不明です。

>>一般に
>>f(x)=g(x)⇔f(x)=g(x) ∧ f'(x)=g'(x)
>>は成り立つのでしょうか？

とありますが、あなたが挙げている例では、右辺はtの式(つまり、logt)であって、xの式ではありませんよね。
とすると、g(x)とは何を意味しているのか、さらには、g'とありますが、これはxでの微分なのかtでの微分なのかが不明です。

上記のような点を踏まえて、文字・記号のを適切に使い、「何での」微分なのかも含め、一字一句完璧に質問を書いて下さい。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/16 17:52

例えば

x^2=4 はx=2で真ですが、両辺を微分して
2x=0
は x=2で偽です。

特定の値で真であることと、恒等的に真であることは全く別ものです。

その為に全称や存在記号を駆使して区別するわけです(^^;

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/09/17 13:30

＞f(x)=g(x)⇔f(x)=g(x) ∧ f'(x)=g'(x)

＞は成り立つのでしょうか？

∀x | f(x)=g(x) ∧ f(x)、g(x)ともに微分可能　⇔∀x | f(x)=g(x) ∧ f'(x)=g'(x)
ですが、
∃x | f(x)=g(x) ⇔∃x | f(x)=g(x) ∧ f'(x)=g'(x)
ではありません。

この回答へのお礼

なるほど、そこに論理の抜けがあったのですね。
全称記号で微分可能ではないといけない。
ところでこの間
F(x)=G(x)<=>F(a)=G(a)/\F'(x)=G'(x)
(F(x)はxの関数、F'(x)はF(x)をxで微分したもの、aは定数、/\はかつ)
という記述を見たのですが、これはいつでも成り立つのですか？ 前に量化記号が付いても？

お礼日時：2017/09/17 20:30

No.4 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/09/17 23:27

∀x |F(x)=G(x) →　∀x | [ F(a)=G(a)　∧　F'(x)=G'(x) ]

は明らかですよね。
逆は、１点 a で等しくて、すべてのｘで微分係数が等しければ、
　　　　　ｘ
F(x) =　∫　F'(X) dx + F(a)
　　　　　a

なので、F(x)=G(x) が導けるのでは？

この回答へのお礼

そうですね、ありがとうございます。
例の記述は前に全称記号が隠されていたのですね。
むき出しで示されていたものですから違和感を覚えてついでに聞いてしまいました。
ところで、一行目の文をtの範囲にどうやって同値変形したら良いのでしょうか？
+logxは-logxの誤りでした。

お礼日時：2017/09/18 17:54