微分方程式の逆演算子を使っての問題

　　　１
―――――――［exp(3X)cos2X］
Ｄ^2－４Ｄ＋７

という問題なのですが、

ｙ''－４ｙ'＋７＝exp(3X)cos2X

として、特殊解ｐ(X)を一回微分、二回微分し、それを

ｐ''－４ｐ'＋７＝［exp(3X)cos2X］

として係数比較する方法以外の方法ってあるんですか？

No.1 回答者： motsuan 回答日時： 2001/07/04 21:56

exp(3X)cos2X={ exp[(3+i2)X] + exp[(3-i2)X] }/2

であることを考えるとなんとなく
(Ｄ^2－４Ｄ＋７)^{-1} = (Ｄ-α)^{-1}(Ｄ-β)^{-1}
（α、βは定数）
　：
というふうに変形していきたくなるのではないでしょうか？

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2001/07/04 22:29

演算子法＝ラプラス変換、でどうでしょ。

細かいこと言うと違うの？まあ、イー加減なのが演算子の良いところですから。

そうすると、ラプラス変換をL[]と書くことにし、もとの式をfとして、
　　　１
―――――――［exp(3X)cos2X］ = f
Ｄ^2－４Ｄ＋７
この関数fについてF=L[f]とするとき
L[(Ｄ^2－４Ｄ＋７)f]= (s^2 - 4s + 7)F = ((s-2)^2+3)F
一方、exp(3X)cos2Xのラプラス変換は
L[exp(3X)cos2X]=(s-3)/((s-3)^2+4)
でいいかな？従って
F=L[exp(3X)cos2X]/((s-2)^2+3)
=(s-3)/[((s-3)^2+4)((s-2)^2+3)]
= (1/2)[1/((s-3)^2+4) - 1/((s-2)^2+3)]
ですから、L~[]を逆変換として
f= (1/2)(L~[1/((s-3)^2+4)] - L~[1/((s-2)^2+3)])
こうなれば後は簡単ですよね。

　いや、計算間違いはいつもの事ですんで、チェック宜しく。

No.3 回答者： noname#2380 回答日時： 2001/07/05 02:59

motusan氏が暗示されている方法に沿って計算を進める結果となってしまいました。

とりあえず以下のように計算してみました（ご参考までに）。


まず逆演算子を使うため基礎的な関係式((6)式）を以下のように導出します。
[1/(D-a)]v(x)=y(x)　　　　　　　　(1)
は、
v(x)=(D-a)y(x)　　　　　　　　　　(2)
書けます。
常套手段としてy(x)を以下のように置き換えます。
y(x)=exp(a*x)*u(x)　　　　　　　　(3)
(3)式を(2)式に代入します。
(D-a)y(x)=(D-a)(exp(a*x)*u(x))
=Du(x)=v(x)　　　　　　　(4)
となります。(4)式の微分方程式の解は(5)式で求まります。
u(x)=∫v(x')dx'　　　　　　　　(5)
よって、求める解は(6)式となります。
y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'　　　(6)
*************************************
************************************
以上の結果をまとめると、
[1/(D-a)]v(x)=y(x)　　　　　　　　(1)
は、
y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'　　　　　(6)
となります。
*************************************
*************************************
次に本題を解きます。
t*t-4*t+7=0 (7)
の解をa,bとします。
motusan氏が暗示されているように逆演算子は次のように因数分解できます。
1/(D*D-4*D+7)=1/(D-a)/(D-b) (8)
本題の式を(9)のように表現させていただきます。
1/(D*D-4*D+7) v(x)=y(x) (9)
(9)式は
y(x)=1/(D-a)/(D-b) v(x)
=1/(a-b)*(1/(D-a)-1/(D-b)) v(x)
となります。この結果を(10)式のように書き換えます。
(a-b)*y(x)=1/(D-a) v(x)+1/(D-b) v(x)
=exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx' (10)

ここで、虚数単位としてiではなくｊで表現させていただきます。
また、計算を簡単(?)に進めるため、オイラーの公式exp(j*x)=cos(x)+j*sin(x)
を利用します。
v(x)=exp(3*x)*cos(2*x)
=exp(3*x)*0.5*(exp(2*j*x)+exp(-2*j*x)) (11)
(11)を(10)に代入すると
(a-b)*y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx'

=exp(a*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

+exp(b*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

=exp(a*x)*(C1+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j)))+

+exp(b*x)*(C2+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j)))

　　　　　　　　　　　(12)

C1,C2は定数（複素数）です。
a=2+(3)^0.5*j
b=2-(3)^0.5*j
を用いて、オイラーの公式を用いて、三角関数で表現させ、さらに積分定数を整理すると、
*********************************************************
*********************************************************
y(x)=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+(3)^0.5/13*exp(5*x)*cos(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+2/(3)^0.5/13*exp(5*x)*sin(2*x)*sin((3)^0.5*x) (13)

(13)の解が求まります。微分方程式を満足するかどうか、第一項は検算しましたが、第2項以下は検算をしていません。
誤記、計算ミスがあったらゴメンなさい。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2001/07/06 02:23

stomachman、No.2で、やっぱり計算間違いしました。

とほほ。
(D^2-4D+7)f = exp(3X)cos2X
において、
α=f(0)
β=(Df)(0)
という初期値の自由度を入れるのを忘れちゃった。だからラプラス変換は
(s^2-4s+7)F-(αs+β)-(-4α)=(s-3)/((s-3)^2+4)
が正解です。No.2ではα=β=0にしちゃったのでした。

かくて、
F=(s-3)/[((s-3)^2+4)((s-2)^2+3)]+(α(s-2)+(β-2α))/((s-2)^2+3)
=(1/2)[1/((s-3)^2+4) - 1/((s-2)^2+3)] + α(s-2)/((s-2)^2+3)+(β-2α)/((s-2)^2+3)
=(1/2)/((s-3)^2+4) + α(s-2)/((s-2)^2+3)+(β-2α- 1/2)/((s-2)^2+3)
よって
f=(1/2)L~[1/((s-3)^2+4)] + αL~[(s-2)/((s-2)^2+3)]+(β-2α-1/2)L~[1/((s-2)^2+3)]
そして
L~[1/((s-3)^2+4)] =(1/2)exp(3X)sin(2X)
L~[(s-2)/((s-2)^2+3)]=exp(2X)cos((√3)X)
L~[1/((s-2)^2+3)] =(1/√3)exp(2X)sin((√3)X)
ですから、
f= (1/4)exp(3X)sin(2X) + αexp(2X)cos((√3)X)+((β-2α-1/2)/√3)exp(2X)sin((√3)X)
となります。
A=α
B=((β-2α-1/2)/√3)
と書けば
f= (1/4)exp(3X)sin(2X) + A exp(2X)cos((√3)X)+B exp(2X)sin((√3)X)
ですね。
　今度は合ってるかな。

No.5 回答者： noname#2380 回答日時： 2001/07/12 00:31

No3のblue_monkeyです。

No4のstomachman氏の計算結果と異なる結果が得られてしまったので、
blue_monkey計算結果内容を検討した結果、致命的なミスがありました
のでお詫びいたします。その部分を修正すれば、導出した結果は
No4のstomachman氏の計算結果と一致しました。

以下の内容は、No3の内容の修正についての記述ですので、blue_monkey
の導出方法に興味のない場合は無視していただければ幸いです。
*************************************************
修正内容
*************************************************
motusan氏が暗示されている方法に沿って計算を進めます。

まず逆演算子を使うため基礎的な関係式((6)式）を以下のように導出します。
[1/(D-a)]v(x)=y(x)　　　　　　　　(1)
は、
v(x)=(D-a)y(x)　　　　　　　　　　(2)
書けます。
常套手段としてy(x)を以下のように置き換えます。
y(x)=exp(a*x)*u(x)　　　　　　　　(3)
(3)式を(2)式に代入します。
(D-a)y(x)=(D-a)(exp(a*x)*u(x))
=exp(a*x)*Du(x)=v(x)　　　　　　　(4)
となります。
************************************************
ウキィキィ～、すでにこの時点でNo3の内容でポカミスが発生しています。
ごめんなさい.
************************************************
(4)式の微分方程式の解は(5)式で求まります。
u(x)=∫exp(-a*x')*v(x')dx'　　　　　　　　(5)
よって、求める解は(6)式となります。
y(x)=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'　　　(6)
*************************************
*************************************



次に本題を解きます。
t*t-4*t+7=0 (7)
の解をa,bとします。
motusan氏が暗示されているように逆演算子は次のように因数分解できます。
1/(D*D-4*D+7)=1/(D-a)/(D-b) (8)
本題の式を(9)のように表現させていただきます。
1/(D*D-4*D+7) v(x)=y(x) (9)
(9)式は
y(x)=1/(D-a)/(D-b) v(x)
=1/(a-b)*(1/(D-a)-1/(D-b)) v(x)
となります。この結果を(10)式のように書き換えます。
(a-b)*y(x)=1/(D-a) v(x)-1/(D-b) v(x)
*****************************************
ここでも、マイナスをプラスに誤記していました。
ごめんなさい。
*****************************************
=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'-exp(b*x)*∫exp(-b*x')*v(x')dx' (10)

ここで、虚数単位としてiではなくｊで表現させていただきます。
また、計算を簡単(?)に進めるため、オイラーの公式exp(j*x)=cos(x)+j*sin(x)
を利用します。
v(x)=exp(3*x)*cos(2*x)
=exp(3*x)*0.5*(exp(2*j*x)+exp(-2*j*x)) (11)
(11)を(10)に代入すると
(a-b)*y(x)=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'

-exp(b*x)*∫exp(-b*x')*v(x')dx'

=exp(a*x)*∫exp((3-a)*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

-exp(b*x)*∫exp((3-b)*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

=exp(a*x)*(C1+0.5*(exp((1-(3)^0.5*j+2*j)*x)/(3-(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1-(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j-2*j)))

-exp(b*x)*(C2+0.5*(exp((1+(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1+(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j-2*j)))

　　　　　　　　　　　(12)

C1,C2は定数（複素数）です。
a=2+(3)^0.5*j
b=2-(3)^0.5*j
を用いて、オイラーの公式を用いて、三角関数で表現させ、さらに積分定数を整理すると、
*********************************************************
*********************************************************
y(x)=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/(2*(3)^0.5*j)*[0.5*exp((2+(3)^0.5*j)*x)

*(exp((1-(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1-(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j-2*j))

-0.5*exp((2-(3)^0.5*j)*x)

*(exp((1+(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1+(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j-2*j))]

=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/(2*(3)^0.5)*(exp(3*x)*[-(2-(3)^0.5)*cos(2*x)+sin(2*x)]

/[4*(2-(3)^0.5)]

+exp(3*x)*[(2+(3)^0.5)*cos(2*x)-sin(2*x)]/[4*(2+(3)^0.5)])

上式を整理すると、

=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/4*exp(3*x)*sin(2*x)

となります。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2001/07/12 14:20

答が合って良かった良かった。

念のため、ちょっと補足しておきましょう。変数xを含む関数f(x)のラプラス変換L[f(x)]をF(s)とするとき、
L[(Df)(x)] = sF(s)-f(0)
L[((D^2)f)(x)] = (s^2)F(s)-sf(0)-(Df)(0)
L[((D^3)f)(x)] = (s^3)F(s)-(s^2)f(0)-s((Df)(0))-((D^2)f)(0)
：
という具合です。具体的なfについてのL[f]は岩波の数学公式をはじめ、いろんな公式集・教科書に載ってますね。
特に重要なのを幾つか挙げると
L[c f(x)] = cF(s)
L[exp(a x) f(x)] = F(s-a)
L[f(x/c)] = cF(cs)
L[exp(-a x)] = 1/(s + a)
L[sin ωx] = ω/(s^2 + ω^2)
L[cos ωx] = s/(s^2 + ω^2)
　線形微分方程式を楽ちんに解くテクとして工学系でまず発達して、それで何故旨く行くのか、どこまで手抜きして大丈夫なのか、についてあとからキチンとした数学理論ができたと聞いています。
　ご質問の問題では、Dに掛かっている整数係数が旨く調節してあって、きれいな答が出るように仕組んであるようです。