(x^2-2ax+b)(x^2+bx+a)を展開したとき、x^3の係数が8,x^2の係数が11である

(x^2-2ax+b)(x^2+bx+a)を展開したとき、x^3の係数が8,x^2の係数が11であるような整数a,bの値を求めよ。
さっぱり分かりません…。
解答、お願いします！

No.1 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/10/19 21:40

(x^2-2ax+b)(x^2+bx+a)を展開するとき

x^2-2ax+bの
x＾2と-2axとbから一つ
x＾2+bx+aの
x＾2とbxとaから一つ選び
その２つをかけます。
なので、x^3の項になるのは
(x^2-2ax+b)(x^2+bx+a)では
x^2×bxと-2ax×x＾2だけなので
x＾3の項は
x^2×bx+(-2ax)×x＾2=(b-2a)x＾3
x＾2の項になるのは
x＾2×aと-2ax×bxとb×x＾2だけなので
(a-2ab+b)x＾2
よって
b-2a=8…①
a-2ab+b=11…②
①、②より
a-2a(2a+8)+2a+8=11
4a^2+13a+3=0
よってa=-1/4,-3
よってb=15/2,2
参考になればうれしいです。

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/20 03:07

まずはひたすら計算します。

(x^2 -2ax +b)(x^2 +bx +a)
=x^2(x^2 +bx +a) -2ax(x^2 +bx +a) +b(x^2 +bx +a)
=x^4 +bx^3 +ax^2 -2ax^3 -2abx^2 -2xa^2 +bx^2 +xb^2 +ab
=x^4 +bx^3 -2ax^3 +ax^2 -2abx^2 +bx^2 -2xa^2 +xb^2 +ab
=x^4 +(b-2a)x^3 +(a-2ab+b)x^2 +(-2a^2 +b^2)x +ab

次に、x^3の係数が8、x^2の係数が11　なので
x^3の係数とx^2の係数に注目すると
b-2a=8
a-2ab+b=11
となります。
あとはこの連立方程式を解くだけです。
a-2ab+b=11　に、b=2a+8 を代入して
a-2a(2a+8)+(2a+8)=11
a -4a^2 -16a +2a +8 -11=0
-4a^2 -13a -3=0
4a^2 +13a +3=0
(4a+1)(a+3)=0
よって a=-1/4,-3 となります。
条件よりa,bは整数なので、
求める解は　a=-3　となり、b=-3×2+8=2　だとわかります。

したがって、条件を満たすa,bは
(a,b)=(-3,2)
となります。


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係数を確認するためだけに
上のようにひたすら計算するのが面倒だと思うのであれば、
係数だけを注目する方法もあります。
(x^2 -2ax +b) と (x^2 +bx +a) をかけ合わせるとき
x^3とx^2を持つものだけを考えるのです。
つまり、
x^3を含む部分だけ計算すると
x^2・bx -2ax・x^2=(b-2a)x^3
x^2を含む部分だけ計算すると
x^2・a -2ax・bx +b・x^2=(a -2ab +b)x^2
なので、係数の条件から
b-2a=8
a -2ab +b=11
と、二つの式を少ない計算で求めることができます。

No.3 ベストアンサー 回答者： banzaiA 回答日時： 2017/10/20 09:39

係数の比較だけなら、かけざんの筆算形式の方がわかりやすい。

添付図参照してください。
＞x^3の係数が8,x^2の係数が11
だから
b-2a=8 ①
b-2ab+a=11　　②
①②の連立方程式を解くと
a=-3,-1/4
となる。
＞整数a,bの値
なので、
a=-3
b=2

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/23 15:08

2次式と2次式の掛け算ですから、4次式になります。

3次の項は、2次と1次の項の掛け算ででてきますから、
左辺の x^2 と右辺のbx で係数は、1・b=b また、
左辺の -2ax と右辺の x^2で係数は、-2a・1=-2a
よって、bー2a=8 …(1) 同じく
2次の項は、2次と定数項と1次同志の掛け算ででてきますから、
(左辺,右辺)=(2次、定数項),(1次、1次),(定数項、2次)より
1・a+(-2a)・b+b・1=a+bー2ab=11 …(2)
(1),(2)より整数は、(a、b)=(ー3,2)