次の二次関数の問題を教えてください( •̩̩̩̩_•̩̩̩̩ )
a,bを定数とし、a>0とする。xの二次関数、
y=2ax^2+3bx-2a+3bのグラフをCとする。
Cの頂点は、(①,②)である。
Cが点(-2,8)を通るとき、
b=③が成り立つ。
(1)Cの頂点のy座標の値が最大となるのはa=④のときで、このときの最大値は⑤である。
(2)Cの頂点のy座標が-9/2であるとき、a=アまたは、イである。a=アのとき、0<=x<=3におけるCの
最小値と最大値は、
x=ウのとき、最小値エ
x=オのとき、最大値カ
である。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
二次関数のグラフ(放物線)は分かりますか? 分からないなら復習してください。
その「頂点」とはどういうことか。y = 2ax^2 + 3bx - 2a + 3b
= 2a[x^2 + (3b/2a)x] - 2a + 3b
= 2a[ x + (3b/4a) ]^2 - (9b^2 /8a) - 2a + 3b
= 2a[ x + (3b/4a) ]^2 - ( 9b^2 + 16a^2 - 24ab )/8a
= 2a[ x + (3b/4a) ]^2 - (4a - 3b)^2 /8a (i)
なので、頂点は (-3b/4a, -(4a - 3b)^2 /8a ) です。
Cが点(-2,8)を通るならば、これを式に代入して
8 = 8a - 6b - 2a + 3b
= 6a - 3b
より
b = (6a - 8)/3 = 2a - 8/3
これを二次関数の式(i)に代入すれば
y = 2a[ x + (6a - 8)/4a ]^2 - (4a - 6a + 8)^2 /8a
= 2a[ x + (6a - 8)/4a ]^2 - (-2a + 8)^2 /8a (ii)
(1) 頂点の y 座標は
- (-2a + 8)^2 /8a
であり、a>0 であるからこれは
- (-2a + 8)^2 /8a ≦ 0
であり、これが最大になるのは
-2a + 8 = 0
つまり
a=4
のときである。
このとき頂点の y 座標は 0 である。
(2) Cの頂点のy座標が-9/2であるとき
- (-2a + 8)^2 /8a = -9/2
より
36a = 4a^2 - 32a + 64
→ a^2 - 17a + 16 = 0
→ (a - 16)(a - 1) = 0
より
a = 1 または 16
a=1 のとき、
y = 2( x - 1/2 )^2 - 9/2
なので、0≦x≦3における最小値と最大値は、
x = 1/2 のとき最小値 -9/2
x = 3 のとき最大値 8
a=16 のとき、
y = 32( x + 11/8 )^2 - 9/2
なので、0≦x≦3における最小値と最大値は、
x = 0 のとき最小値 56
x = 3 のとき最大値 608
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