次の二次関数の問題を教えてください( •̩̩̩̩＿•̩̩̩̩ ) a,bを定数とし、a>0とする。x

次の二次関数の問題を教えてください( •̩̩̩̩＿•̩̩̩̩ )

a,bを定数とし、a>0とする。xの二次関数、
y=2ax^2+3bx-2a+3bのグラフをCとする。
Cの頂点は、(①,②)である。
Cが点(-2,8)を通るとき、
b=③が成り立つ。

(1)Cの頂点のy座標の値が最大となるのはa=④のときで、このときの最大値は⑤である。

(2)Cの頂点のy座標が-9/2であるとき、a=アまたは、イである。a=アのとき、0<=x<=3におけるCの
最小値と最大値は、
x=ウのとき、最小値エ
x=オのとき、最大値カ
である。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/06 17:31

二次関数のグラフ（放物線）は分かりますか？　分からないなら復習してください。

その「頂点」とはどういうことか。

y = 2ax^2 + 3bx - 2a + 3b
　= 2a[x^2 + (3b/2a)x] - 2a + 3b
　= 2a[ x + (3b/4a) ]^2 - (9b^2 /8a) - 2a + 3b
　= 2a[ x + (3b/4a) ]^2 - ( 9b^2 + 16a^2 - 24ab )/8a
　= 2a[ x + (3b/4a) ]^2 - (4a - 3b)^2 /8a　　　　　　　　(i)

なので、頂点は (-3b/4a, -(4a - 3b)^2 /8a ) です。

Cが点(-2,8)を通るならば、これを式に代入して
　8 = 8a - 6b - 2a + 3b
　　= 6a - 3b
より
　b = (6a - 8)/3 = 2a - 8/3

これを二次関数の式(i)に代入すれば

y = 2a[ x + (6a - 8)/4a ]^2 - (4a - 6a + 8)^2 /8a
　= 2a[ x + (6a - 8)/4a ]^2 - (-2a + 8)^2 /8a　　　　(ii)

(1) 頂点の y 座標は
　- (-2a + 8)^2 /8a
であり、a>0 であるからこれは
　- (-2a + 8)^2 /8a ≦ 0
であり、これが最大になるのは
　-2a + 8 = 0
つまり
　a=4
のときである。

このとき頂点の y 座標は 0 である。

(2) Cの頂点のy座標が-9/2であるとき
　- (-2a + 8)^2 /8a = -9/2
より
　36a = 4a^2 - 32a + 64
→　a^2 - 17a + 16 = 0
→　(a - 16)(a - 1) = 0
より
　a = 1 または 16

a=1 のとき、
　y = 2( x - 1/2 )^2 - 9/2
なので、0≦x≦3における最小値と最大値は、
　x = 1/2 のとき最小値 -9/2
　x = 3 のとき最大値 8

a=16 のとき、
　y = 32( x + 11/8 )^2 - 9/2
なので、0≦x≦3における最小値と最大値は、
　x = 0 のとき最小値 56
　x = 3 のとき最大値 608

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2017/11/06 17:52