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高1 数A 場合の数と確率

0,1,2,3,4,5の6個の数字の中から異なる4個の数字を選んで4桁の整数をつくるとき、次のような数の個数を求めよ。

1.偶数
2.奇数
3.3の倍数

という問題の解説お願いしますm(_ _)m

gooドクター

A 回答 (5件)

全体は5x5x4×3=300通り



1. 先頭が1、3、5では4桁目は0又は2又は4の3通りだから
3x3x4×3=108通り
先頭が2又は4では、4桁目は2通りだから
2x2×4x3=48通り

計156通り 確率156/300

2. 1の余事象なので 144/300

先頭が1の場合残り3桁で昇順の組み合わせは
023 035 245
同様に先頭が2の場合は
013 034 145 235
3の場合は
012 015 024 045 345
4の場合
023 035 125
5の場合
013 034 124

計18通り

なので 18×3P3=108通り

確率 108/300
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2番目の回答者です。


重ねてごめんなさい。
その後、検証してみたら
更に間違いがありましたので訂正します。

間違いの箇所は
「3.3の倍数」
の中での(2)0有りの場合です。
使える組み合わせにもう一つ[0345]がありました。
結果、[0123][0135][0234][0345]
の4通りとなるので
4*(4P4-3P3) = 72
0無し版と0有り版を足すと108
[答え:108]

・・・自信なくなってきました。。。
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この回答へのお礼

わざわざ教えていただきありがとうございます!解説をしっかり読んでテストに備えたいと思います、重ね重ねありがとうございました!!

お礼日時:2017/11/13 15:42

こんにちは。


2番目の回答者です。
ごめんなさい。
回答後、検証してみたら見事に間違いがありましたので訂正します。

間違いの箇所は
「3.3の倍数」
の中での(2)0有りの場合です。
使える組み合わせにもう一つ[0123]がありました。
なので
4P4*3-3P3*3 = 54
0無し版と0有り版を足すと78
[答え:78]
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/11/13 15:40

こんにちは。


高校時、数学では確率好きだった者です。
当時の記憶をもとに
今でも解けるか自己テストのつもりで回答します。
なので、間違っていたらごめんなさい。

確率では定番的な前提知識、mCnやmPnの計算は解っているものとします。
なので、その点での計算については省略しています。

1.偶数
4ケタの数字で偶数となるのは、一の位が偶数の時
このため、一の位に選択できるのは0、2,4の3パターン。
それぞれについて、残りの位で選択できるものを組み合わせます。
式は左から順に千の位、百の位、拾の位。
一の位が0場合:5C1*4C1*3C1 = 60
一の位が2場合:4C1*4C1*3C1 = 48
一の位が4場合:4C1*4C1*3C1 = 48
一の位が2と4の場合は、千の位で0が使えない
(4ケタの整数という題意に反する)として計算しています。
3つを足して、
[答え:156]

2.奇数
解法は2通り?
上記、偶数の場合と同様でもよいのでしょうが、
折角なので別パターン。
まずは単純に4つを選んで並べた場合。
6P4 = 360 ・・・(1)
千の位が0の場合
5P3 = 60 ・・・(2)
(1)から(2)を引くと、1000以上となる組み合わせ
300が残ります。
この中から偶数が除外となるので、
上記の[1.]の答え156を引くと144となるので
[答え:144]

3.3の倍数
求め方はいくつか、いわゆる「全部書き出してみる」とかありますが、
ココでは数学らしく、テクニックを持ち出します。
3の倍数の数字には、
「全ての桁の値を足す行為を繰り返して1桁くらいにすると、
 最終的に3の倍数になってる。」
というのがあります。
今回は4ケタなので、問題を言い換えると
「足し合わせると3の倍数となる4枚を選んだ時、
 全ての並べ方は何通りあるか」
となります。・・・ホントかな。
では、ココまでで「0」を気にするとメンドイと判っているので
0が有るか無いかで分けて考えます。
(1)0無しの場合
使える組み合わせは[1245]・・・の一通り・・・ナノか??
では、この並べ方なので
4P4の24通り。
(2)0有りの場合
使える組み合わせは[0135][0234]の二通り・・・ナノか??
こちらは頭ゼロ(千の位が0の意)のウンタラカンタラがあるので
4P4*2-3P3*2 = 36
0無し版と0有り版を足すと60
[答え:60]

ひとまずココまで。
更に詳しくとか、間違ぅとるやんけなどありましたら
補足などにてお伝え願います。
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この回答へのお礼

お返事遅れてしまい、すみません!!
丁寧に説明いただき、本当ありがとうございました!覚えていられているなんてすごいですね!!私も頑張ります、、(笑)

お礼日時:2017/11/13 15:40

まず4桁目に0が来てしまうと4桁の整数にならなくなってしまう(3桁になる)のでそこに注して進めます


また、問1,2は1桁目の数字→4桁目の数字→3桁目→2桁目と決めていくとします
問3は4桁目→3桁目→2桁目→1桁目の順番で決めていくとします



偶数の場合 1桁目が偶数であれば4桁の整数は偶数になります
一桁目には0,2,4のどれかがくれば4桁の整数は偶数になります。
ここで一桁目が0の時と2,4のときで場合分けします

まず0の時
4桁目~2桁目までは何でもいいのでその時の場合の数は5個の中から3個選べばよいので

5×4×3=60

通りです。

次に一桁目が2,4の時には4桁目が0ではまずいので4桁目は1桁目の数と0以外の4通りです。
3桁目は0があってもよいので4通りです。
2桁目も0があってもよいので3通りです。
よって4×4×3=48

一桁目は2,4の二通りあるのに注意すれば偶数になる場合の数は

60+48×2=156

通りです。


2

奇数の場合も1桁目が奇数であれば4桁の整数は奇数になります。
一桁目には1,3,5のどれかがくれば4桁の整数は偶数になります。これが3通り

4桁目は1桁目の数と0以外の4通りです。
3桁目は0があってもよいので4通りです。
2桁目も0があってもよいので3通りです。
よって4×4×3=48

一桁目は1,3,5の3通りあるのに注意すれば偶数になる場合の数は

48×3=144

通りです




3の倍数になるには4つの桁の数字を足して3の倍数になれば4桁の整数は3の倍数になります。(順番は関係なく3の倍数になります)

0,1,2,3,4,5の4つの組み合わせの足し算で3の倍数になる組み合わせを計算します



まず6個の数字を全部足してみると

0+1+2+3+4+5=15

となり3の倍数になっています。なのでこの6つの数字から2個取り除くときにその2個の足した数が3の倍数なら残った4つの数字の足し算も3の倍数になるはずです

足して3の倍数になる二つの組み合わせ

0と3
1と5
2と4

の3通りになります

ここで場合分けします

まず取り除くのが0と3のとき
残った4つの数字は1,2,4,5で0がないので

4×3×2×1=24

通りです

次に1と5を取り除く場合です

のこった4つの数字の中に0が含まれていますので
4桁目に0以外の3通り
3桁目に4桁目に選んだ数字以外の3通り
2桁目は2通り
1桁目は1通り

よって

3×3×2×1=18

通りです。

1と5を取り除く場合と同様に2と4を取り除く場合も

18通り

よって4桁の整数が3の倍数になるのは

24+18+18=60

通り
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この回答へのお礼

助かりました

お返事遅くなってしまい、すみません!!わかりやすく説明いただき、本当ありがとうございました!!

お礼日時:2017/11/13 15:38

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