4次方程式 x^4+5x^3+2x^2+5x+1=0 の解き方を教えてください。答えは+-i,(-5

4次方程式
x^4+5x^3+2x^2+5x+1=0
の解き方を教えてください。答えは+-i,(-5+-√21)/2です。解説がないので、お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： 20170130 回答日時： 2017/12/18 11:58

x^4+5x^3+2x^2+5x+1=0

左辺の係数をみると、1,5,2,5,1　で左右対称になっています(何か名称があったはずだけど忘れた)
この形の場合は、x が 0 ではないとして、t = x + (1/x) を使って次数を下げられます

t^2 = x^2 + 2 + (1/x^2)

与えられた式を　x^2 で割る　x^2 + 5x + 2 + (5/x) + (1/x^2) = t^2 + 5t

以下はNo.1様と同じになります

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/12/17 19:12

x^4＋5x^3＋2x^2＋5x＋1

＝(x^4＋2x^2＋1)＋5x(x^2＋1)
＝(x^2＋1)^2＋5x(x^2＋1)
＝(x^2＋1)(x^2＋5x＋1)＝0

となるので、あとはこれを解くだけです。