Maxwell方程式と物質方程式から、均質な物体では
∇^2E-(εμ/c^2)(∂^2E/∂t^2)=0
∇^2H-(εμ/c^2)(∂^2H/∂t^2)=0
の波動方程式が得られますが、ところでこの解はどうすれば求められますか?

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A 回答 (2件)

任意の境界条件に対して解析的な解を求めるのは不可能です.


もっとも単純な無限に広い空間の場合は,
電磁波まで触れている電磁気学のテキストならたいてい載っていますよ.
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この回答へのお礼

お礼遅れました。早速の回答ありがとうございます。
電磁気の勉強をやり直してみます。

お礼日時:2001/07/28 21:05

お初です。


siegmund氏の言われるとおりかと思います。
以下は蛇足説明です。
∇^2E-(εμ/c^2)(∂^2E/∂t^2)=0   (1)
∇^2H-(εμ/c^2)(∂^2H/∂t^2)=0   (2)
境界条件の指定されていない、自由空間の平面波の場合、通常教科書に書かれている方法は、
E,H,k,rは、3次元ベクトルとします。
E(x,y,z)=(Ex,Ey,Ez):電場
E0:電場の振幅で、時間、座標に依存しないベクトル
H(x,y,z)=(Hx,Hy,Hz):磁場
k=(kx,ky,kz):波数ベクトルで、時間、座標に依存しない定数。
|k|=2*π/λ
λ:波長
r=(x,y,x):位置ベクトル
「・」はベクトルの内積を意味します。
ω=2*π*f:角周波数、f:周波数
j:虚数単位
方法(1) 天下り的に
E=E0*exp(j*(k・r-ω*t))
と平面波で与えられるものとして、(1)式に代入して、kとωがある関係式を導出し、
E0≠0   ここでの0は、0ベクトルの意味です。
となる解が存在することを示した後で、(1)、(2)の波動方程式を導く前のMaxwell方程式に電場Eを代入し、Hを求めるというやり方。

∇*E=4*π*ρ=0   (3)
∇*H=0                  (4)
∇×E=4*π*j+(∂/∂t)*H=(∂/∂t)*H    (5)
∇×H=-(∂/∂t)*D            (6)
求まった、電場の式を(5)式に代入してHを求める。



方法(2) これまた、同様に天下り的に

E=E0*(g(k・r-ω*t)+g(k/r+ω*t))     (7)

と与えられるものとして、(1)の波動方程式に代入して(1)式を満たすことを示した後、方法(1)と同様にHを求めるやり方。

(2)のやり方は、算数の波動の偏微分方程式の本とかでよく見かけたような気がします。


ほんの少し、進んだ電磁気学の教科書だと
方法(3)
ベクトルポテンシャル:A(x,y,z)、スカラーポテンシャルφ(x,y,z)を導入して、
これらのポテンシャルに対する偏微分方程式をMaxwell方程式より求め、これらをフーリエ変換で求める方法(この方法でも結局のところ平面波で展開しているだけとなり、(1)の求めた結果を足し算した形となるだけだと思いますが。)。
H=∇×A          (8)
E=-∇*φ+(∂/∂t)A     (9)
(8)式は(4)式を満たすことから、導出?
(9)式は(8)式を(5)式に代入して導出?
Maxwell方程式で、ローレンツ条件を課せば、確か、A,φに対して波動方程式が導出されたかと思います。
スカラーポテンシャルを0とすると、(考えている空間に電荷、電流が分布してない)
∇・∇(A)-(εμ/c^2)(∂^2A/∂t^2)=0

A(x,y,z)=

∫∫∫a(kx,ky,kz,ω)*exp(j*(k・r-ω*t))dkx dky dkz dω/(2*π)^4

として求めるやり方。ベクトルaは、境界条件から決定。

電荷、電流の分布のある場合、Green関数を求めて一般解を求める方法があります。
この方法も取得しておくと、量子力学を勉強するとき御利益があるかも?

(4)その他
境界条件が、球面で規定されるなら、ラプラシアンをカーデアン座標(x,y,z)ではなく、球面座標(r,φ,θ)で表現し、解を求め、その解の重ね合わせで一般解を表現し、その係数を境界条件から決定する。

境界条件が、円筒面で規定されるなら、ラプラシアンをカーデアン座標(x,y,z)ではなく、円筒座標(ρ,φ,z)で表現し、解を求め、その解の重ね合わせで一般解を表現し、その係数を境界条件から決定する。

というやり方があるかと思います。ここで、球面関数とベッセル関数を勉強しておくと、量子力学のSchrodinger方程式を解くときに御利益があるかも?

誤記、誤解がありましたらゴメンなさい。
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この回答へのお礼

いろいろな方法を紹介してくださって、ありがとうございます。
今後の学習に、たいへん参考になりました。
実は波動に関しての問題だったのですが、量子力学にも使えるのですね・・・
勉強します。

お礼日時:2001/07/28 21:14

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x=pが方程式の解なら、x=-pも解になる。解は正負組の解が無限に存在します。

ニュートン法を使えば、
f(x)=1/x+sin(x)*e^(cos(x))
のグラフの概形を描いて、大雑把な近似解を求め、それを使って計算すればよい。
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などとなります。

参考URL:http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html

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Qma=Fと微分方程式 m・d^2r/dt^2=F

高校の物理で習うma=Fというニュートンの第2法則ですが、
これを微分方程式m・d^2r/dt^2=Fで解くと何がより分かるように
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またこれ以外にも微分方程式で解くことによる利点を教えて
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よろしくお願いします

Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

 遠隔作用説では説明できないことがあったり、電磁波の数学解も出て来ませんでした。近接作用説に則り、微分方程式で記述し直すと、電磁波の数学解が出てきて、実験してみると電磁波が発見されました。重力もニュートンの式は遠隔作用説の記述ですが、アインシュタインが近接作用説で書き直し、重力に対する理解が非常に進んで、今まで説明不能だったことが説明できるようになりました。

 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

 物理学では、物理現象を調べるときに、できるだけ細かい要素に分けて、一つ一つの要素を調べます。一つ一つが分かったら、元の形に組み直していき、ようやく「分かった」となります。細かく分解できるほど、正確に、精密になるというのが、経験的な事実です。微分方程式による記述は、もっと正確に、より精密にということの顕れです。当然、物理学として進歩します。

P.S.

 決定論は間違っていることが既に判明しています。量子力学の成果です。量子力学は「物理現象の根本は不確定で確率的である」としています。何事も100%の精度で知ることはできず、サイコロの目の出方次第で変わってしまうのですから、たとえ宇宙全体を観測できて、無限の計算能力を持っていても、ラプラスの悪魔にはなれないわけです。

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

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Q指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
(ただし、t=t0の時、y=y0となります。)
c=(y0*e^-rt0)/(m-y0)となるらしいのですが
なぜこうなるのか分かりません。
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また、このcをy=(Mc*e^rt)/(1+c*e^rt)に代入すると
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この計算方法もわからないです。
教えてください。

ちなみにこの計算は人口予測を求めるロジスティック方程式の理論解を導出する過程
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Aベストアンサー

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M-y0)
⇔c=y0*T^(-1)/(M-y0)
∴c=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)

 また、この c を c*exp(rt) に代入すると次のようになります。
 c*exp(rt)
=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)*exp(rt)
=y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)

 したがって、y はつぎのようになります。
y=M*c*exp(r*t)/{1+c*exp(r*t)}
=M*y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)/[1+y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)]
=M*y0*exp{r(t-t0)}/[(m-y0)+y0*exp{r(t-t0)}]

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
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Q照度E=a/r^2〔lm/m^2〕になる理由

こんにちは、フォトダイオードとか照度について勉強しているものです。照度E〔lm/m^2〕は、光束a〔lm〕、距離r〔m〕の間に以下のような式を成り立たせるみたいです。

E=a/r^2

しかし、何故こんな式になるのでしょうか?証明方法とかありましたら是非知りたいです!よろしくお願いします。

Aベストアンサー

これは定義(約束事)↓ですから証明することは出来ません。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%82%B9


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